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2020届四川省泸县XX中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(含答案)

1、一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题所给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.)1.复数z=i1+i在复平面上对应的点位于  A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知,均为单位向量,若,则向量与的夹角为 A. B. C. D. 3.已知是正项等比数列,若是,的等差中项,则公比 A. -2B. 1C. 0D. 1,-24.直线与双曲线交于,两点,以为直径的圆的方程为,则 A. -3B. 3C. D. 5.在(x2x)10的二项展开式中,x6的系数等于 A. -180B. 53C. 53D. 1

2、806.设向量a=(x1,x),b=(1,2),若a/b,则x= A. 32B. -1C. 23D. 327.为得到函数y=sin3x3cos3x的图象,只需要将函数y=2cos3x的图象 A. 向左平行移动6个单位B. 向右平行移动6个单位C. 向左平行移动518个单位D. 向右平行移动518个单位8.我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升,问:米几何?”如图所示的是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=3,则输人k的值为A. 10B. 11C. 12D. 139.已知a=2,b=73,c=log3,则a,

3、b,c的大小为A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a10.若函数f(x)=ex+axlnx(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是A. (-,-e)B. (-,-2e)C. (e,+)D. (2e,+)11.在中,角的对边分别为, , 若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是(    )A.     B.     C.     D. 12.在三棱锥中,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积的最大值为时,其外接球的表面积为 A. B

4、. C. D. 第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)13.已知随机变量服从正态分布N(1,2),则D(2+3)=_.14.函数fx=cos3x+6在0,的零点个数为_15.若函数f(x)=(a+1)x+log2(1+4x)+2为偶函数,则a_.16.已知F是抛物线C: y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点,则FN=_三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)17.(本大题满分12分)已知数列an是等比数列,公

5、比q<1,前n项和为Sn,若a2=2,S3=7.()求an的通项公式;()设mZ,若Sn<m恒成立,求m的最小值.18.(本大题满分12分)在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为菱形,且ABC=23,M,N分别为棱AP,CD的中点()求证:MN/平面PBC;()若PD平面ABCD,PB=2AB,求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值19.(本大题满分12分)某工厂抽取了一台设备在一段时间内生产的一批产品,测量一项质量指标值,绘制了如图所示的频率分布直方图.()计算该样本的平均值,方差;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)()根据长期生产经验,可以认为这台设备在正常状态下生

6、产的产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均值,近似为样本方差.任取一个产品,记其质量指标值为.若,则认为该产品为一等品;,则认为该产品为二等品;若,则认为该产品为不合格品.已知设备正常状态下每天生产这种产品1000个.(i)用样本估计总体,问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过?(ii)某公司向该工厂推出以旧换新活动,补足50万元即可用设备换得生产相同产品的改进设备.经测试,设备正常状态下每天生产产品1200个,生产的产品为一等品的概率是,二等品的概率是,不合格品的概率是.若工厂生产一个一等品可获得利润50元,生产一个二等品可获得利润30元,生产一个不合格品亏损40元,试为工厂做出

7、决策,是否需要换购设备?参考数据:;,.20.(本大题满分12分)已知函数fx=ex+ax+ln(x+1)1.()求fx在x=0处的切线方程;()若x0时,fx0恒成立,求实数a的取值范围; (3)求证:e2e<32.21.(本大题满分12分)在ABC中,B(322,0),C(322,0),其周长是6+32,O是BC的中点,T在线段AO上,满足TA=2TO.(1)求点T的轨迹E的方程;(2)若M(m,0) (0<m<1),N(n,0)在OC的延长线上,过点M的直线交轨迹E于P,Q两点,直线QN与轨迹E交于另一点R,若(MP+MR)PR=0,求mn的值.(二)选考题:共10分,

8、请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.  选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xoy中,直线l1的参数方程为x=2+ty=kt (t为参数),直线l2的参数方程为x=2+my=mk (m为参数)设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C()写出C的普通方程;()以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l:(cos+sin)2=0,M为l与C的交点,求M的极径23.已知函数fx=x+1+2x1()解不等式fxx+3;()若gx=3x2m+3x2,对x1R,x2R,使fx1=gx2成立,求实数m取值范围2019-20

9、20学年度秋四川省泸县五中高三第一学月考试理科数学试题答案1.A2.B3.B4.A5.D6.C7.D8.C9.A10.A11.A12.B12.根据两个射影,结合球的图形,可知二面角的平面角为;根据题意可知当,时,三棱锥的体积最大。根据体积的最大值可求得BC的长,结合图形即可求得球的半径,进而求得表面积。如图,设球心在平面内的射影为,在平面内的射影为则二面角的平面角为点在截面圆上运动,点在截面圆上运动,由图知,当,时,三棱锥的体积最大,此时与是等边三角形设,则,解得,所以,设则解得球的半径所求外接球的表面积为故选B.13.814.315.216.617.(1)由a2=2,S3=7得a1q=2,a

10、1+a1q+a1q2=7,解得a1=4,q=12或a1=1,q=2(舍).所以an=4(12)n-1=(12)n-3.(2)由(1)可知:Sn=a1(1-qn)1-q=4(1-12n)1-12=8(1-12n)<8. an="">0,所以Sn单调递增.所以,Sn<m恒成立时,m8又因为mZ,故m的最小值为8.18.(1)证明:设PB的中点为G,连接MG,GC.M,G分别是AP,PB的中点,MG/AB,且MG=12AB.由已知得CN=12AB,且CN/AB.MG/CN,且MG=CN.四边形MGCN是平行四边形.MN/GC.MN平面PBC,CG平面PBC,MN

11、/平面PBC.(2)连接AC,BD,设ACBD=O,连接CO,连接OG.设菱形ABCD的边长为a,由题设得PB=2a,PD=3a,OG/PD,OG平面ABCD,分别以OA,OB,OG为x轴,y轴,z轴的非负半轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设得P0,-a2,3a,A32a,0,0,D0,-a2,0,B0,a2,0,C-32a,0,0,PB=0,a,-3a,CB=32a,a2,0.设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则nPB=0nCB=0,化简得y-3z=03x+y=0,令x=1,则y=-3,z=-1.n=1,-3,-1.同理可求得平面PAD的一个法向量m=1,-3,0.c

12、os=mnmn=255.平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为55.19.(1)由频率分布直方图可得.(2)(i)方法一:由(1)得,由图可得质量指标值在和的频率为,所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过.方法二:由于.所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过.(ii)设,分别为设备,一天为工厂创造的利润,则,所以采用新设备利润每天增加,因此,只需56天使用设备产生的利润就超过使用设备产生的利润和换购费用总和,从长远来看,应该换购设备.20.(1)f'x=ex+1x+1+a,f'0=1+1+a=2+a,又f0=0,fx在x=0处的切线方程为y-0=(a+2)(x-0),即y=

13、(a+2)x.(2)若x0时, 则f'x=ex+1x+1+a f''x=ex-1x+12,f''x=ex-1x+12在0,+上单调递增,f''xf''0=0则f'x在0,+上单调递增,f'xf'0=a+2 当a+20,即a-2时,f'x0,则fx在0,+上单调递增,此时fxf0=0,满足题意若a<-2,由f'x在0, 0="2+a<0,x+,f'(x)">0,故x00,+,使得f'x0=0. 则当0<x<x0 时,f&

14、#39;x<f'x0=0函数fx在0,x0上单调递减. fx0f0,即e12-1+ln12+1-1>0.   ln32>2-e.   32>e2-e,即  e2-e<32 ac="6">BC,所以A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,从而有(3x)29+(3y)292=1,即T的轨迹方程是x2+2y2=1(y0).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),而显然直线PQ不与x轴重合,故设其方程为x=ky+m,代入椭圆方程得(k2+2)y2+2kmy+m2-1=0,M在椭圆E内,>0,且y1+y2=-

15、2kmk2+2,y1y2=m2-1k2+2,又(MP+MR)PR=0,|MP|=|MR|,R(x1,-y1),从而kNR=kQN-y1x1-n=y2x2-n-y1(ky2+m-n)=y2(ky1+m-n)2ky1y2+(y1+y2)(m-n)=02k(m2-1)-2km(m-n)=0mn=1.22.(1)消去参数t,得l1的普通方程l1:yk(x2);消去参数m,得l2的普通方程l2:y (x2) 设P(x,y),由题设得消去k,得x2y24(y0),所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02,),联立得cos sin 2(cos sin )故ta

16、n ,从而cos2,sin2.代入2(cos2sin2)4,得25,所以l与C的交点M的极径为.23.(1)解:不等式等价于x-1-3xx+3或-1123xx+2,又x-1-3xx+3无解,所以-12x12或12<x1,故不等式的解集为x-12x1.(2)由f(x)=x+1+2x-1 =-3x,x-1-x+2,-112,可知当x=12时,f(x)最小,无最大值,求得f(x)min=f12=32,设Ay|yf(x),By|yg(x),则A=y|y32,又g(x)=3x-2m+3x-23x-2m-(3x-2)=2m-2,即By| y2m-2,由题意知AB,所以2m-232,所以m14,74.- 14 -