1、 1 陆良县 2020 届高三毕业班第二次摸底考试 理科数学试题卷 （考试时间：120 分钟；全卷满分：150 分） 一、一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1. 已知集合 2 |1, |20,Ax xBx xx则AB （ ） A. |1x x B. |2x x C. |01xx D. |02xx |12xx 2. 复数 2 1 i i 在复平面内表示的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知 n a为等差数列，若 348 12aaa，则 9 S （ ） A. 24 B. 27 C
2、. 36 D. 54 4已知双曲线 22 1 3 yx m 的离心率为 2 3 3 ，则m的值为 （ ） A. 1 B. 6 5 C.3 D. 9 5.向如图的正方形内随机投掷一质点，则该质点落在阴影部分的概率为 （ ） A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 4 6.已知向量a与向量b的夹角为60，1| |a，23ba， 则b（ ） A1 B2 C 2 2 D 1 2 7. 6 2 ()x x 的展开式中的常数项是( ) A. -120 B.-60 C.60 D. 120 8. 将函数( )cosf xx的图像横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再 开始 i=1,S=0 2ii 输出
3、 S 结束 是 否 1 (2) SS i i 第 5 题图 2 向右平移 6 个长度单位，得到的函数图像的一条对称轴为（ ） A 3 x B 5 12 x C 7 12 x D 2 3 x 9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 S 为 3 7 ，则判断框中应填（ ） A. 5?i B. 5?i C. 7?i D. 7?i 10. 已知函数 )(xf 2 1,0 2 ,0 x ex xx x ，若)()2( 2 afaf ，则实数a取值范围是（ ） A. (1, ), 2( B. (1 , 2 ) C. (2 , 1 ) D. (2, ), 1() 11. 若:,sin2pxRxa ，:q函数
4、 32 1 ( ) 3 f xxxax在 R 上是增函数， 则p是q的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不 必要条件 12.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的两个焦点为 12 ,F F，P为椭圆上一点， 12 90FPF。 若 12 PFF的内切圆面积为 2 4 c ，则椭圆的离心率为（ ） A 1 2 B 3 2 C 2 3 D 2 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分 13. 若随机变量 2 (1,)N，且(12)0.4P，则(0)P 。 14. 设变量 x，y 满足约束条件 20 20 20 xy xy xy
5、 ，则2zxy的最小值为 。 15. 若是第二象限的角，且tan3 2 ，则sincos 。 第 9 题图 3 16. 已知PABC、 、 、是球面上的四点，且,2 2ACBC AB，若三棱锥PABC的 体积的最大值为 4 3 ，则球的体积为 。 三、解答题:解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，C为锐角，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，R 是外接圆半径，已知向量( , ),(cos ,cos )ma b nBA，且Rnm。 （）求角C； （）若2b ， ABC 的面积为 13 2 ，求cos() 3 B 的值。 18(本小题满分 12 分
6、) 普通高中国家助学金，用于资助家庭困难的在校高中生。在本地， 助学金分一等和二等两类，一等助学金每学期 1250 元，二等助学金每学期 750 元，并规 定：属于农村建档立卡户的学生评一等助学金。某班有 10 名获得助学金的贫困学生，其 中有 3 名属于农村建档立卡户，这 10 名学生中有 4 名获一等助学金，另 6 名获二等助学 金。现从这 10 名学生中任选 3 名参加座谈会。 （）若事件 A 表示“选出的 3 名同学既有建档立卡户学生，又有非建档立卡户学生” ，求 A 的概率； （） 设 X 为选出的 3 名同学一学期获助学金的总金额， 求随机变量 X 的分布列和数学期望 19.(本小
7、题满分 12 分) 如图的几何体中，4 1 AB底面ABC是正三角形，2 AB四 边形 11 BCC B是矩形，且平面 11 BCC B底面ABC （）D在AC上运动，当D在何处时，有 1 AB平面 1 BDC， 并且说明理由； （）当 1 AB平面 1 BDC时，求二面角DBCC 1 余弦值 20.（本小题满分 12 分）已知P为抛物线 2 :2(0)C ypx p上一点，点P到直线 4 30xy的最小距离为2 （）求抛物线 C 的方程； （）过点（1，0）作两条互相垂直的直线 12 ll、，与抛物线 C 分别交于ABDE、 、 、，求 四边形ADBE的面积S的最小值 21. （本小题满分
8、12 分）已知函数( )ln21f xxax （）若1x 是( )f x的极值点，确定a的值； （）当1x 时，( )0f x ，求实数a的取值范围 二选一，请考生在第 22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分）在直角坐标系xOy中，以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立 极坐标系，已知曲线 1 C的极坐标方程为 2 4 cos5,曲线 2 C的极坐标方程为 () 3 R ，曲线 1 C、 2 C相交于点 A，B。 （）将曲线 1 C、 2 C的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求弦 AB
9、的长。 23.（本小题满分 10 分）已知函数12)( xxf， axxg )( （）当0 a时，解不等式)()(xgxf ； （）若存在R x，使得)()(xgxf 成立，求实数a的取值范围. 5 陆良县 2020 届高三毕业班第二次摸底考试 理科数学参考答案 一、一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C A C A C D D B A C 二、填空题 13. 0.1 14 . -2 15. 1 5 16. 9 2 三、解答题 17.解： （）由m nR得coscosaBbAR 1 分 由正弦定理可得 1 sincossincos 2 ABB
10、A， 即 1 s i n 2 C 5 分 C是锐角， 6 C 6 分 （）由 13 2 S ，2b ，可得13a 7 分 所以 222 2cos2cababC，即2c 8 分 sin2 sin 2 bC B c ，又,baBA， 2 cos 2 B 10 分 即 26 cos()coscossinsin 3334 BBB 12 分 18.（）解：由题意： 1221 3737 3 10 7 ( ) 10 C CC C P A C 4 分 （）解：随机变量 X 的所有可能值为 2250，2750，3250，3750，5 分 3 6 3 10 1 (2250) 6 C P X C ， 21 64 3
11、 10 1 (2750) 2 C C P X C 6 12 64 3 10 3 (3250) 10 C C P X C ， 3 4 3 10 1 (3750) 30 C P X C 9 分 所以随机变量 X 的分布列是 X 2250 2750 3250 3750 P 10 分 所以 1131 ()22502750325037502850 621030 E X 12 分 19. 解： （）当D为 AC中点时,有/ 1 AB平面 1 BDC (2 分) 证明:连结 1 BC交 1 BC于O,连结DO 四边形 11 BCC B是矩形 O为 1 BC中点又D为AC中点,从而 1 /DOAB (4 分)
12、 1 AB 平面 1 BDC,DO 平面 1 BDC/ 1 AB平面 1 BDC(6 分) （）建立空间直角坐标系Bxyz如图所示,则 (0,0,0)B,( 3,1,0)A,(0,2,0)C, 3 3 (,0) 22 D, 1(0,2,2 3) C(7 分) 所以 3 3 (,0) 22 BD , 1 (0,2,2 3)BC (8 分) 设),( 1 zyxn 为平面 1 BDC的法向量,则有 33 0 22 22 30 xy yz ，,即 3 3 xz yz 令1z,可得平面 1 BDC的一个法向量为 1 (3,3,1)n , 而平面 1 BCC的一个法向量为 2 (1,0,0)n (10
13、分) 7 所以 12 12 12 33 13 cos, 13|13 n n n n nn ， 故二面角DBCC 1 的余弦值为 13 133 (12 分) 20 解： （1）设 2 0 0 (,) 2 y Py p ，则点P到直线30xy的距离 2 0 0 3 2 2 y y p d 3 分 若0 ，则 min 0d不合题意，所以0 即06p4 分 所以当 0 yp时， min 3 2 2 2 p d ，解得2p 5 分 即抛物线C的方程为 2 4yx； 6 分 （2）因为抛物线C的方程为 2 4yx，所以（1，0）是焦点 设 1 l交抛物线C于 1122 ( ,), (,)A x yB xy
14、， 2 l交抛物线C于 3344 (,),(,)D xyE xy 由题意 1 l的斜率k存在且不为 0，设 1 l的方程为(1)yk x， 由 2222 12 22 (1) 4 (24)02 4 yk x k xkxkxx yxk 8 分 则 12 2 4 4ABxxp k ， 同理得 2 34 44DExxpk 9 分 故 22 22 1148 (4)(44)816 22 SAB DEkk kk 即 2 2 8 2 81632Sk k ， 当且仅当 2 2 8 81kk k 即时，等号成立， 所以 min 32S 12 分 21.解： （）( )f x的定义域为(0,). 1 ( )2fxa
15、 x ，由题意 1 (1)0 2 fa. 3 分 8 若 1 2 a ，则 11 ( )1 x fx xx ，当01x时， ( ) 0fx ；当1x 时， ( ) 0fx 所以1x 是( )f x极大值点，故 1 2 a 6 分 （） 1 2 ( ) ax fx x 若0a ，则 ( ) 0fx ，( )f x在1,)上单调递增 ( )(1)1 20f xfa ，满足题意 7 分 若 1 0 2 a，则 当 1 1 2 x a 时， ( ) 0fx ，( )f x单调递增；当 1 2 x a 时， ( ) 0fx ，( )f x单调 递减. 此时当x 时，( )0f x ，不合题意. 9 分
16、若 1 2 a ，则1x 时， ( ) 0fx ，( )f x单调递减. ( )(1)1 20f xfa ，不合题意. 11 分 综上可知，当0a ，1x 时,( )0f x ，故(,0a 12 分 22. 解： （1） 222 4 cos545xyx，即 22 (2)9xy， 故曲线 1 C的直角坐标方程为 22 (2)9xy； 3 分 曲线 2 C的直角坐标方程为3yx. 5 分 （2）曲线 1 C表示圆心为（2，0） ，半径3r 的圆，曲线 2 C表示直线， 则圆心到直线的距离3d ， 7 分 所以弦长 22 22 6ABrd 10 分 23.解：()当0a时，由)()(xgxf得xx12，两边平方整理得0143 2 xx， 解得1x或 3 1 x原不等式的解集为) 3 1 1( ， 5 分 （）由)()(xgxf 得xxa 12，令xxxh 12)(，则 9 0, 1 0 2 1 , 13 2 1 , 1 )( xx xx xx xh 7 分 故 2 1 ) 2 1 ()( min hxh，从而所求实数a的范围为 2 1 a 10 分