1、 - 1 - 2019-2020 学年度秋四川省泸县二中高三第一学月考试 理科数学试题理科数学试题 第第 I 卷卷(选择题选择题 共共 60 分）分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.若复数 满足，则 的共轭复数 A. B. C. D. 2.某公司生产 ， 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 ，为检验该公司的产品质量，用分层 抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中 种型号的轿车比 种型号的轿车少 8 辆，则 A. 96 B. 72 C. 48 D. 36
2、 3.中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里 40 名学 生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于 85 分的学生得到“诗词达人”的称号，低于 85 分且不低 于 70 分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照 称号的不同进行分层抽样抽选 10 名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 4.如图是某地某月 1 日至 15 日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是 A. 这 15 天日平均温度的极差为 B. 连续三天日平均温度的方差最
3、大的是 7 日，8 日，9 日三天 C. 由折线图能预测 16 日温度要低于 - 2 - D. 由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数 5.已知点 与点关于直线对称，则点 的坐标为 A. B. C. D. 6.已知实数是给定的常数，函数 的图象不可能是 A. B. C. D. 7.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元 世纪）的数学著作孙子算经卷下第二十 六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即， 一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为 ，当时，符合条件的 共 有 A. 个 B. 个 C. 个 D.
4、个 8.现有甲班四名学生，乙班三名学生，从这 名学生中选 名学生参加某项活动，则甲、乙 两班每班至少有 人，且 必须参加的方法有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 9.在中，内角 的对边分别为，已知，则 A. B. C. D. 或 10.若函数的图象关于直线 轴对称， 则函数 的最小值为 A. B. C. 0 D. 11.已知函数 ，则下列结论中正确的是 A. 函数的定义域是 B. 函数是偶函数 C. 函数 在区间上是减函数 D. 函数的图象关于直线 轴对称 12.已知函数，当时，不等式 恒成立，则实数 的 取值范围是 A. B. C. D. - 3 - 第第卷（非选择题共卷（非选择题共
5、 90 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13若 5 (1)ax的展开式中 3 x的系数是80，则实数a的值是 14.若实数满足不等式组 ，且的最小为 ，则实数_ 15.在平面四边形中，是边长为 2 的等边三角形， 是以斜边的等腰直角三角形，以 为折痕把折起，当时，四面体的外接球的体积为_ 16.已知抛物线的焦点为 是抛物线上一点，过点 向抛物线 的准线引 垂线，垂足为，若为等边三角形，则_ 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 21 题为必考题，每个试题
6、考题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分 12 分） 已知数列满足. （）求和的通项公式； （）记数列的前 项和为，若对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围 18.（本大题满分 12 分） 为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系， 新苗中学数学教师对新入学的名学生 进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于小时的有人，余下的人中，在高三模拟考试 中数学成绩不足分的占，统计成绩后，得到如下的列联表： 分数大于等于 分 分数不足 分 合计 周做题时间不少于小时
7、 4 19 周做题时间不足小时 - 4 - 合计 45 （）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学 成绩与学生自主学习时间有关” （）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于分和分数不足分的两组学生 中抽取 名学生，设抽到的不足分且周做题时间不足小时的人数为 ，求 的分布列（概率用组合 数算式表示） （ii）若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取人，求这些人中周做题时间不少于 小时的人数的期望和方差 附： 19.（本大题满分 12 分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且. （）求证：平面平面； （）若，求二面角的余弦值. - 5
8、- 20.（本大题满分 12 分） 函数 （）若函数在点处的切线过点，求 的值； （）若不等式在定义域上恒成立，求 的取值范围 21.（本大题满分 12 分） 已知动圆 过定点，且和直线相切，动圆圆心 形成的轨迹是曲线 ，过点的 直线与曲线 交于两个不同的点. （）求曲线 的方程； （）在曲线 上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在， 说明理由. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） .极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以 轴正半
9、轴为极轴已知曲线 的极 坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线， ，与曲线分别交异于极点的四点 ， ， ， （）若曲线关于曲线对称，求 的值，并把曲线和化成直角坐标方程 - 6 - （ ）求，当时，求的值域 23.设函数 （）求不等式的解集； （）当时，恒成立，求 m的取值范围 - 7 - 2019-2020 学年度秋四川省泸县二中高三第一学月考试学年度秋四川省泸县二中高三第一学月考试 理科数学试题理科数学试题答案答案 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.D 11.B 12.C 13.2 14. 15 16. 17.解:(1)由题意得， 所以得 由, 所
10、以（）， 相减得， 得也满足上式. 所以的通项公式为. (2)数列的通项公式为 是以为首项,公差为的等差数列, 若对任意的正整数 恒成立，等价于当时,取得最大值, 所以 解得 所以实数 的取值范围是 18.（ ） 分数大于等于 分 分数不足 分 合计 周做题时间不少于小时 19 周做题时间不足小时 26 合计 45 能在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” - 8 - （ ）（i）由分层抽样知大于等于分的有 人，不足分的有 人， 的可能取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， 则分布列为 X 0 1 2 3 4 P （ii）设从全校大于等于分的学生中随机抽取人
11、，这些人中，周做题时间不少于小时的人数为 随机变量 ， 由题意可知， 故， 19.（1）证明：取中点，连结， 因为底面为菱形，所以 因为为的中点，所以 在中， 为的中点，所以 设,则， 因为，所以 在中，为的中点，所以 在 和 中，因为， 所以 所以所以 因为，平面，平面， 所以平面 因为平面，所以平面平面 - 9 - （2）因为，平面，平面， 所以平面所以 由（1）得，所以，所在的直线两两互相垂直 以为坐标原点，分别以所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，则，所以 设平面的法向量为， 则 令，则，所以 设二面角为 ，由于 为锐角
12、， 所以 所以二面角的余弦值为 20.（）， ， - 10 - ， 整理可得， 解得， （）由题意知， ， 设， 故在递增， 故时， 当时， 故在上有唯一实数根， 当时，当时， 故 0时，取最小值，由， 得，故， ， 解得：， 故 的范围是 21.（1）设动圆圆心 到直线的距离为 ，根据题意， 动点 形成的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 抛物线方程为. （2）根据题意，设，直线的方程为，代入抛物线方程，整理 得 若设抛物线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点，设，则 ，同理可得 - 11 - 解得 在曲线 上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 22.（ ） ， 即，化为直角坐标方程为 把的方程化为直角坐标方程为， 因为曲线关于曲线对称，故直线经过圆心， 解得，故的直角坐标方程为 （ ）当时， ， ， 的值域为 23.（1） ， 由解得 即不等式的解集为. （2）当时， 由，得， 也就是 在恒成立， 故，即的取值范围为.