1、习题课导数的应用一、选择题1函数yexln x的值域为()Ae，) B2，)C(e，) D(2，)答案B解析由ye(x0)知函数在上单调递减，在上单调递增，且函数连续、无上界，从而yexln x的值域为2，)2函数y在定义域内的最大值、最小值分别是()A2，2 B1，2 C2，1 D1，2答案A解析函数的定义域为R.令y0，得x1.当x变化时，y，y随x的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极小值极大值当x趋近于负无穷大时，y趋近于0；当x趋近于正无穷大时，y趋近于0.由上表可知，当x1时，y取极小值也是最小值2；当x1时，y取极大值也是最大值2.3设f(x)4x3mx2(
2、m3)xn(m，nR)是R上的单调增函数，则m的值为()A4 B5 C6 D7答案C解析因为f(x)是R上的单调增函数，故f(x)12x22mx(m3)0在xR上恒成立，于是4m248(m3)0，即(m6)20，得m6.4已知函数f(x)2f(1)ln xx，则f(x)的极大值为()A2ln 22 B2ln 22Cln 22 Dln 22答案B解析f(x)1，令x1得，f(1)2f(1)1，f(1)1，所以f(x)2ln xx，f(x)1，f(x)1的零点是x2，所以当0x0，f(x)是增函数，当x2时，f(x)0，f(x)是减函数，所以x2是f(x)的极大值点，极大值为f(2)2ln 22.
3、5已知函数f(x)ln xax2(a1)x1在x1处取得极小值，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，1)C(1，) D(0，)答案C解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)ln xax2(a1)x1，f(x)ax(a1)，令f(x)0，解得x或x1，若f(x)在x1处取得极小值，则01.二、填空题6若函数ya(x3x)的单调递增区间是，则实数a的取值范围为_答案(0，)解析ya(3x21)，令y0，得x.由函数ya(x3x)的单调递增区间是，得导函数ya(3x21)的图象是开口向上的抛物线，所以a0.7若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数
4、，则实数a的取值范围为_答案5,7解析函数f(x)的导数f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数依题意有当x(1,4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0，所以4a16，即5a7，所以a的取值范围为5,78已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_答案13解析由题意求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可
5、得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.9若函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间为(1,1)10设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的
6、x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_答案4，)解析x(0,1，f(x)0可化为a.令g(x)，则g(x)，令g(x)0，得x.当0x0；当x1时，g(x)0)，则f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.12已知函数f(x)axln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值解(1)当a1时，f(x)xln x，f(x)1，当0x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数f(
7、x)maxf(1)1.(2)f(x)a，当x(0，e时，若a，则f(x)0，f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10不合题意；若a0，即a0，得0x，由f(x)0，即a0，得xe.从而f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf1ln，令1ln3，则ln2，e2，即ae2.e2，且当x1,4a时，|f(x)|12a恒成立，试确定a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x33x29x1，且f(x)3x26x9，由f(x)0，解得x1或x3.当x0；当1x3时，f(x)0.因此x1是函数的极大值点，极大值为f(1)6；当1x3时，f(x)3时，f(x)0.因此x3是函数的
8、极小值点，极小值为f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a2的图象是一条开口向上且对称轴为直线xa的抛物线，因此，若a1，则f(x)在1,4a上单调递增，所以f(x)在1,4a上的最小值为f(1)36a9a2，最大值为f(4a)15a2.由|f(x)|12a，得12a3x26ax9a212a，于是36a9a212a，且15a212a，结合a1，解得1，则|f(a)|12a212a，故当x1,4a时，|f(x)|12a不恒成立所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范围为.14设f(x)x3x，xR，若当0时，f(msin )f(1m)0恒成立，则实数m的取值范围为_答案(，1
9、)解析因为f(x)x3x，xR，故f(x)3x210，则f(x)在xR上为单调增函数，又因为f(x)f(x)，故f(x)也为奇函数，由f(msin )f(1m)0，即f(msin )f(1m)f(m1)，得msin m1，即m(sin 1)1，因为0，故当时，01恒成立；当时，m恒成立，即mmin1，故m0)上的最小值；(2)若函数yf(x)与yg(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值；(3)若函数yf(x)g(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1ln 2，求实数a的取值范围解(1)令f(x)ln x10得x，当0t0)，则h(x)1(x2)(x1)(x0)，易知h(x)在(0,1)上单调
10、递减，在(1，)上单调递增，所以ah(x)minh(1)3.(3)由题意得，yf(x)g(x)xln xx2ax2，则其导函数为yln x2x1a，由题意知yln x2x1a0有两个不同的实根x1，x2，等价于aln x2x1有两个不同的实根x1，x2，且x10)的图象有两个不同的交点由G(x)2(x0)，得G(x)在上单调递减，在上单调递增，画出函数G(x)图象的大致形状(如图)由图象易知，当aG(x)minGln 2时，x1，x2存在，且x2x1的值随着a的增大而增大而当x2x1ln 2时，则有两式相减可得ln 2(x2x1)2ln 2，得x24x1，代入上述方程组解得x1，x2ln 2，此时实数aln 2ln 1，所以实数a的取值范围为.