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《第3章导数及其应用习题课:导数的应用》课时对点练(1)含答案

1、习题课导数的应用一、填空题1.函数yexln x的值域为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值与最值答案2,)解析由ye(x0)知函数在上单调递减,在上单调递增,且函数连续、无上界,从而yexln x的值域为2,).2.函数y在定义域内的最大值、最小值分别是_.考点题点答案2,2解析函数的定义域为R.令y0,得x1.当x变化时,y,y随x的变化情况如下表:x(,1)1(1,1)1(1,)y00y极小值极大值当x趋近于负无穷大时,y趋近于0;当x趋近于正无穷大时,y趋近于0.由上表可知,当x1时,y取极小值也是最小值2;当x1时,y取极大值也是最大值2.3.设f(

2、x)4x3mx2(m3)xn(m,nR)是R上的单调增函数,则m的值为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性答案6解析因为f(x)是R上的单调增函数,故f(x)12x22mx(m3)0在xR上恒成立,于是4m248(m3)0,即(m6)20,得m6.4.已知函数f(x)2f(1)ln xx,则f(x)的极大值为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值答案2ln 22解析f(x)1,令x1得,f(1)2f(1)1,f(1)1,所以f(x)2ln xx,f(x)1,f(x)1的零点是x2,所以当0x0,f(x)是增函数,当x2时,f(

3、x)0,f(x)是减函数,所以x2是f(x)的极大值点,极大值为f(2)2ln 22.5.已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴相切于点(1,0),则函数f(x)的极大值为_,极小值为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的极值答案0解析f(x)3x22pxq,f(1)32pq0.又f(1)1pq0,由解得p2,q1,f(x)x32x2x,f(x)3x24x1.令3x24x10,解得x1,x21.当x0;当x1时,f(x)1时,f(x)0,当x时,f(x)有极大值为;当x1时,f(x)有极小值为0.6.若函数ya(x3x)的单调递增区间是,则实数a的取值范围为_.

4、考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性答案(0,)解析ya(3x21),令y0,得x.由函数ya(x3x)的单调递增区间是,得导函数ya(3x21)的图象是开口向上的抛物线,所以a0.7.若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,)上为增函数,则实数a的取值范围为_.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的单调性答案5,7解析函数f(x)的导数f(x)x2axa1.令f(x)0,解得x1或xa1.当a11,即a2时,函数f(x)在(1,)上为增函数,不合题意.当a11,即a2时,函数f(x)在(,1)上为增函

5、数,在(1,a1)上为减函数,在(a1,)上为增函数.依题意有当x(1,4)时,f(x)0,当x(6,)时,f(x)0,所以4a16,即5a7,所以a的取值范围为5,7.8.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m,n1,1,则f(m)f(n)的最小值是_.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案13解析由题意求导得f(x)3x22ax,由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0,即342a20,a3.由此可得f(x)x33x24,f(x)3x26x,易知f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,当m1,1时,f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下

6、,且对称轴为x1,当n1,1时,f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.9.若函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是_.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案(1,1)解析令f(x)3x23a0,得x,则f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间为(1,1).10.设函数f(x)ax33x1(xR),若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立,则实数a的取值范围为_.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案4,)解析x(0,1,f(x)0可化为a

7、.令g(x),则g(x),令g(x)0,得x.当0x0;当x1时,g(x)0),则f(x).令f(x)0,解得x11,x2(舍去).当x(0,1)时,f(x)0,故f(x)在(1,)上为增函数.故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.12.已知函数f(x)axln x,其中a为常数.(1)当a1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e上的最大值为3,求a的值.考点利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点利用导数研究函数的最值解(1)当a1时,f(x)xln x,f(x)1,当0x0;当x1时,f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,)上是减函数.f(x)maxf(1)

8、1.(2)f(x)a,当x(0,e时,若a,则f(x)0,f(x)在(0,e上是增函数,f(x)maxf(e)ae10不合题意;若a0,即a0,得0x,由f(x)0,即a0,得xe.从而f(x)在上是增函数,在上是减函数,f(x)maxf1ln,令1ln3,则ln2,e2,即ae2.e2,且当x1,4a时,|f(x)|12a恒成立,试确定a的取值范围.考点导数的综合应用题点导数的综合应用解(1)当a1时,f(x)x33x29x1,且f(x)3x26x9,由f(x)0,解得x1或x3.当x0;当1x3时,f(x)0.因此x1是函数的极大值点,极大值为f(1)6;当1x3时,f(x)3时,f(x)

9、0.因此x3是函数的极小值点,极小值为f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a2的图象是一条开口向上且对称轴为直线xa的抛物线,因此,若a1,则f(x)在1,4a上单调递增,所以f(x)在1,4a上的最小值为f(1)36a9a2,最大值为f(4a)15a2.由|f(x)|12a,得12a3x26ax9a212a,于是36a9a212a,且15a212a,结合a1,解得1,则|f(a)|12a212a,故当x1,4a时,|f(x)|12a不恒成立.所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范围为.三、探究与拓展14.设f(x)x3x,xR,若当0时,f(msin )f(1m)0恒

10、成立,则实数m的取值范围为_.考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案(,1)解析因为f(x)x3x,xR,故f(x)3x210,则f(x)在xR上为单调增函数,又因为f(x)f(x),故f(x)也为奇函数,由f(msin )f(1m)0,即f(msin )f(1m)f(m1),得msin m1,即m(sin 1)1,因为0,故当时,01恒成立;当时,m恒成立,即mmin1,故m0)上的最小值;(2)若函数yf(x)与yg(x)的图象恰有一个公共点,求实数a的值;(3)若函数yf(x)g(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1ln 2,求实数a的取值范围.考点导数的综合应用题点导数的综合应用解

11、(1)令f(x)ln x10得x,当0t0),则h(x)1(x2)(x1)(x0),易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,所以ah(x)minh(1)3.(3)由题意得,yf(x)g(x)xln xx2ax2,则其导函数为yln x2x1a,由题意知yln x2x1a0有两个不同的实根x1,x2,等价于aln x2x1有两个不同的实根x1,x2,且x10)的图象有两个不同的交点.由G(x)2(x0),得G(x)在上单调递减,在上单调递增,画出函数G(x)图象的大致形状(如图).由图象易知,当aG(x)minGln 2时,x1,x2存在,且x2x1的值随着a的增大而增大.而当x2x1ln 2时,则有两式相减可得ln 2(x2x1)2ln 2,得x24x1,代入上述方程组解得x1,x2ln 2,此时实数aln 2ln 1,所以实数a的取值范围为.