1、3.3.2极大值与极小值一、填空题1.已知函数f(x)ax3bx22，其导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是()A1 B2C1 D2答案B解析由f(x)的图象可知，当x0时，函数取得极小值，f(x)极小值2.2当函数yx2x取极小值时，x等于()A0 BCln 2 D2答案B解析令y2xx2xln 20，x.3已知函数f(x)ax33x26axb在x2处取得极值9，则a2b等于()A12 B24 C24 D12答案C解析f(x)3ax26x6a，f(x)在x2处取得极值9，即解得a2b24.4若函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，则函数f(x)的图象在x1处的切线的
2、斜率为()A2 B3 C4 D5答案D解析函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，f(x)(x2c)(x2)2x，f(2)0，c40，c4，f(x)(x24)(x2)2x，函数f(x)的图象在x1处的切线斜率为f(1)(14)(12)25.5已知函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数yf(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是()A0 B2 C3 D1答案C解析函数在xx0处取得极值必须满足两个条件：x0为f(x)0的根；导数值在x0左右异号所以，有3个极值点二、填空题6已知aR，且函数yexax(xR)在(0，)上存在极值，则实数a的取值范
3、围为_答案(，1)解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.7如图所示是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则xx_.答案解析函数f(x)x3bx2cxd的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得则b3，c2，f(x)3x22bxc3x26x2，且x1，x2是函数f(x)x3bx2cxd的两个极值点，即x1，x2是方程3x26x20的实根，故xx(x1x2)22x1x24.8若函数f(x)x2x1在区间内有极值，则实数a的取值范围为_答案解析因为函数f(x)x2x1，所以f(x)x2ax1.若函数f(x)x2x1在区
4、间内有极值，则f(x)x2ax1在区间内有零点由x2ax10，得ax.因为x，所以2a.又因为当a2时，f(x)x22x1(x1)20，不符合题意，所以a2.即2a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_答案9解析f(x)12x22ax2b，且a0，b0，4a296b0，又x1是极值点，f(1)122a2b0，即ab6，ab9，当且仅当ab时“”成立，ab的最大值为9.10直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为_答案(2,2)解析f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.因为f(1)2，f(1)2，所以2a2.三、解答题11.
5、函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.(1)求a，b，c的值；(2)求函数的单调递减区间解(1)函数图象过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a)由f(x)0，得x0或x.由题意可知，当x时，函数取得极小值4.3a24，解得a3.a3，bc0.(2)由(1)知，f(x)x33x2，且f(x)3x(x2)，由f(x)0，得3x(x2)0，0x0时，解得x1，当f(x)0时，解得2x1，所以函数的单调增区间为(，2)，(1，)；
6、单调减区间为(2，1)(2)令f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex(xa)(x2)ex0，所以xa或x2.当a2时，f(x)(x2)2ex0，无极值；当a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，f(x)极大值f(2)(42aa)e23，解得a43e22，所以存在实数a43e2，使f(x)的极大值为3.13已知f(x)x3bx2cx2.(1)若f(x)在x1时有极值1，求b，c的值；(2)在(1)的条件下，若函数yf(x)的图象与函数yk的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围解(
7、1)f(x)3x22bxc，因为所以解得b1，c5.经验证，b1，c5符合题意(2)由(1)知，f(x)x3x25x2，f(x)3x22x5.由f(x)0，得x1，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当x时，函数取得极大值且极大值为f，当x1时，函数取得极小值且极小值为f(1)1.根据题意结合图可知，k的取值范围为.14已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_答案解析f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1,3)上是
8、减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0.0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0，f(0)f(1)0.正确结论的序号是.15已知函数f(x)(c0且c1，kR)恰有一个极大值和一个极小值，其中xc时取得一个极值(1)求x为何值时，函数f(x)取得另一个极值；(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1时k的取值范围解(1)f(x)，由题意知f(c)0，即得c2k2cck0，(*)c0，k0.c1.由f(x)0得kx22xck0，故xc即x1时函数f(x)取得另一个极值(2)由(*)式得k，即c1.当c1时，k0；当0c1时，k0时，f(x)在(，c)和(1，)上是减函数，在(c,1)上是增函数，Mf(1)0，mf(c)0，解得k.当k0，mf(1)0，Mm11恒成立综上可知，所求k的取值范围为(，2)，)