1、3.3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性一、选择题1如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是减函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(2,5)上f(x)是减函数D在区间(4,5)上f(x)是增函数答案D解析由题图知，当x(4,5)时，f(x)0，所以在(4,5)上f(x)是增函数2函数f(x)x2sin x在(0，)上的单调递增区间为()A. B. C. D.答案C解析令f(x)12cos x0，得cos x，又x(0，)，所以x.3函数yx2ln x的单调递减区间是()A(0,1) B. C. D.答案A解析yx2ln
2、x的定义域为(0，)，yx，令y0，即x0，解得0x1或x0，0x1.4若函数f(x)x2在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为()A(2，) B2，)C(1，) D1，)答案B解析f(x)2x.令f(x)0，即2x0，则a2x3，由于g(x)2x3在(1，)上满足g(x)g(1)2，要使a2x3在(1，)上恒成立，应有a2.5已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案A解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件二、填空题6函数f
3、(x)的图象如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式0的解集为_答案(3，1)(0,1)解析由题图知，当x(，3)(1,1)时，f(x)0，故不等式2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2.8已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)exsin x，则f(1)，f(2)，f(3)的大小关系为_答案f(2)f(1)f(3)解析由f(x)f(x)，得f(2)f(2)，f(3)f(3)，由f(x)exsin x得函数在上单调递增，又3120)令x0，解得00且a13，解得1a2.10定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，f(x)2x1的x的取值范围为_答案(，
4、1)解析令g(x)f(x)2x1，则g(x)f(x)2g(1)0时，x0，即f(x)2x1的解集为(，1)三、解答题11设函数f(x)ax3bx2c，其中ab0，a，b，c均为常数，曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy10.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)因为f(x)3ax22bx，所以f(1)3a2b.又因为切线xy1的斜率为1，所以3a2b1，又ab0，解得a1，b1，所以f(1)abcc.由点(1，c)在直线xy1上，可得1c1，即c0，所以a1，b1，c0.(2)由(1)知，f(x)x3x2，令f(x)3x22x0，解得x10，x2.当x(，0
5、)时，f(x)0；当x时，f(x)0，所以f(x)的增区间为，减区间为(，0)和.12已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由解(1)求导得f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上
6、恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)单调递减单调递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)(2)由g(x)x22aln x，得g(x)2x，已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，则h(x)2x0，x1,2，所以h(x)在1,2上为减函数，h(x)mi
7、nh(2)，所以a.故实数a的取值范围为.14若(x)ln x在1，)上是减函数，则实数m的取值范围为_答案(，2解析(x)ln x在1，)上是减函数(x)0在1，)上恒成立即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，x2，)，2m22，m2.故实数m的取值范围为(，215已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9；由g(3)0，即m.m9.即实数m的取值范围是.