1、3.4导数在实际生活中的应用一、选择题1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A. cm B. cm C. cm D. cm答案B解析设圆锥的高为h cm,0h0，当h时，V0，故当h cm时，体积最大2某超市中秋节期间，月饼销售总量f(t)与时间t(0t30，tZ)的关系大致满足f(t)t210t12，则该超市前t天平均售出(如前10天平均售出为)的月饼最少为()A14个 B15个 C16个 D17个答案D解析记g(t)t10，令g(t)10，得t2(负值舍去)，则g(t)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2，30上单调递增，由于tZ，且g(3)g(4)17
2、，g(t)min17.3现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地与B地之间的距离约为500海里运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船的行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元为了使全程运输成本最低，轮船行驶速度应为()A25海里/时 B35海里/时C70海里/时 D75海里/时答案B解析设轮船的行驶速度为x海里/时，运输成本为y元依题意得y(9600.6x2)300x，x(0,35，则y300，x(0,35当0x35时，y0，r是其唯一的极值点，也是极大值点当r时，V取得最大值，最大值为3.5某银行准备新设一种定
3、期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4 C0.024 3 D0.048 6答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，y
4、0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值7统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以_千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少答案80解析当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得y(0x120)，则y(0x120)，令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数递增，故当x80时，y取得最小值8.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，已知窗户的面积一定，若要使窗户的周长最小，
5、则x与h的比为_答案11解析设窗户的面积为S，周长为L，则Sx22hx，即hx.所以窗户的周长为Lx2x2hx2x，则L2.由于x0，令L0，得x，当x时，L0，所以当x时，L取得最小值，此时1.9某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)1 200x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，若生产100件这样的产品时，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为_件答案25解析设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2xk(k为比例系数)由题意知，k250 000，则a2x250 000，所以a.设总利润为y元，则y500x31 200(x0)，则yx2，由y0，得x
6、25，当x(0,25)时，y0；当x(25，)时，y0，所以当x25时，y取得最大值故要使总利润最大，产量应定为25件10海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲、乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为_n mile/h.答案20 解析由题意知，设燃料费y与航速x满足yax3(0x30)，又因为25a103，所以a.设海轮从甲地到乙地的航速为v，费用为w，则wav340020v2.令w
7、40v0，得v20.当0v20时，y0；当20v30时，y0.因此，当x20时，函数w取得极小值，也是最小值即海轮从甲地到乙地的航速为20 n mile/h时，总费用最低三、解答题11某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最
8、大(收益销售额投入)解(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24，令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0，得r0，得2r；令y0，得0r2.所以当r2时，该容器的建造费用最少，为96千元，此时l.答当r
9、2，l时，该容器的建造费用最少，为96千元13如图所示的铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰RtEFH，其中FEFH，FEFH.现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD(不计损耗)，ADBC，且点A，B在弧EF上点C，D在斜边EH上设AOE.(1)求梯形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；(2)试确定的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值解(1)因为AOE，AOEBOF且OAOB1，所以AD1cos sin ，BC1cos sin ，AB2cos .所以SABCD2(1sin )cos ，其中0.(2)记f()2(1sin )cos ，f()2(cos2sin sin 2)
10、2(1sin 2sin sin 2)2(2sin2sin 1)2(2sin 1)(sin 1).当00，当时，f()0)，y，令y0，得x5或x5(舍去)当0x5时，y5时，y0.因此，当x5时，y取得极小值，也是最小值故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小15如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1 km处，tanBAN，BCN.现计划铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺设方案：沿线段AB在水下铺设；在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km,4万元/km.(1)求A
11、，B两镇间的距离；(2)应该如何铺设，使总铺设费用最低？解(1)如图，过B作MN的垂线，垂足为D.在RtABD中，tanBADtanBAN，所以ADBD.在RtBCD中，tanBCDtanBCN1，所以CDBD.则ACADCDBDBDBD1，所以BD3，则CD3，AD4.由勾股定理，得AB5(km)所以A，B两镇间的距离为5 km.(2)方案：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5420(万元)方案：设BPD，则，其中0BAN.在RtBDP中，DP，BP，所以AP4DP4.则总铺设费用为2AP4BP886.设f()，则f()，令f()0，得，当变化时，f()，f()的变化情况如下表：f()0f()极小值所以f()的最小值为f.所以方案的总铺设费用最低为86(万元)，此时AP4.而8620，所以应选择方案进行铺设，点P选在A镇的正西方向(4) km处，总铺设费用最低答当点P选在A镇的正西方向(4) km处时，总铺设费用最低