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《3.4导数在实际生活中的应用》课时对点练(含答案)

1、3.4导数在实际生活中的应用一、选择题1要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为()A. cm B. cm C. cm D. cm答案B解析设圆锥的高为h cm,0h0,当h时,V0,故当h cm时,体积最大2某超市中秋节期间,月饼销售总量f(t)与时间t(0t30,tZ)的关系大致满足f(t)t210t12,则该超市前t天平均售出(如前10天平均售出为)的月饼最少为()A14个 B15个 C16个 D17个答案D解析记g(t)t10,令g(t)10,得t2(负值舍去),则g(t)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,30上单调递增,由于tZ,且g(3)g(4)17

2、,g(t)min17.3现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地与B地之间的距离约为500海里运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船的行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元为了使全程运输成本最低,轮船行驶速度应为()A25海里/时 B35海里/时C70海里/时 D75海里/时答案B解析设轮船的行驶速度为x海里/时,运输成本为y元依题意得y(9600.6x2)300x,x(0,35,则y300,x(0,35当0x35时,y0,r是其唯一的极值点,也是极大值点当r时,V取得最大值,最大值为3.5某银行准备新设一种定

3、期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0)已知贷款的利率为0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x,x(0,0.048 6),若使银行获得最大收益,则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4 C0.024 3 D0.048 6答案B解析依题意,得存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.048 6kx2,其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6),则y0.097 2kx3kx2.令y0,得x0.032 4或x0(舍去)当0x0;当0.032 4x0.048 6时,y

4、0,右侧L(p)0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值7统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx8,x(0,120,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以_千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少答案80解析当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为y升,由题意,得y(0x120),则y(0x120),令y0,得x80,当x(0,80)时,y0,该函数递增,故当x80时,y取得最小值8.如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是矩形,已知窗户的面积一定,若要使窗户的周长最小,

5、则x与h的比为_答案11解析设窗户的面积为S,周长为L,则Sx22hx,即hx.所以窗户的周长为Lx2x2hx2x,则L2.由于x0,令L0,得x,当x时,L0,所以当x时,L取得最小值,此时1.9某厂生产某种产品x件的总成本(单位:元)为C(x)1 200x3,且产品单价的平方与产品件数x成反比,若生产100件这样的产品时,单价为50元,则要使总利润最大,产量应定为_件答案25解析设产品单价为a元,因为产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2xk(k为比例系数)由题意知,k250 000,则a2x250 000,所以a.设总利润为y元,则y500x31 200(x0),则yx2,由y0,得x

6、25,当x(0,25)时,y0;当x(25,)时,y0,所以当x25时,y取得最大值故要使总利润最大,产量应定为25件10海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30 n mile/h,当速度为10 n mile/h时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲、乙两地相距800 n mile,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为_n mile/h.答案20 解析由题意知,设燃料费y与航速x满足yax3(0x30),又因为25a103,所以a.设海轮从甲地到乙地的航速为v,费用为w,则wav340020v2.令w

7、40v0,得v20.当0v20时,y0;当20v30时,y0.因此,当x20时,函数w取得极小值,也是最小值即海轮从甲地到乙地的航速为20 n mile/h时,总费用最低三、解答题11某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费x百万元,可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最

8、大(收益销售额投入)解(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3),所以当t2时,f(t)取得最大值4,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3x)(百万元),又设由此获得的收益是g(x)(百万元),则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3),所以g(x)x24,令g(x)0,解得x2(舍去)或x2.又当0x0;当2x3时,g(x)0,得r0,得2r;令y0,得0r2.所以当r2时,该容器的建造费用最少,为96千元,此时l.答当r

9、2,l时,该容器的建造费用最少,为96千元13如图所示的铁片由两部分组成,半径为1的半圆O及等腰RtEFH,其中FEFH,FEFH.现将铁片裁剪成尽可能大的梯形铁片ABCD(不计损耗),ADBC,且点A,B在弧EF上点C,D在斜边EH上设AOE.(1)求梯形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式;(2)试确定的值,使得梯形铁片ABCD的面积S最大,并求出最大值解(1)因为AOE,AOEBOF且OAOB1,所以AD1cos sin ,BC1cos sin ,AB2cos .所以SABCD2(1sin )cos ,其中0.(2)记f()2(1sin )cos ,f()2(cos2sin sin 2)

10、2(1sin 2sin sin 2)2(2sin2sin 1)2(2sin 1)(sin 1).当00,当时,f()0),y,令y0,得x5或x5(舍去)当0x5时,y5时,y0.因此,当x5时,y取得极小值,也是最小值故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小15如图,已知A,B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处,点C在A的正西方向1 km处,tanBAN,BCN.现计划铺设一条电缆连通A,B两镇,有两种铺设方案:沿线段AB在水下铺设;在湖岸MN上选一点P,先沿线段AP在地下铺设,再沿线段PB在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km,4万元/km.(1)求A

11、,B两镇间的距离;(2)应该如何铺设,使总铺设费用最低?解(1)如图,过B作MN的垂线,垂足为D.在RtABD中,tanBADtanBAN,所以ADBD.在RtBCD中,tanBCDtanBCN1,所以CDBD.则ACADCDBDBDBD1,所以BD3,则CD3,AD4.由勾股定理,得AB5(km)所以A,B两镇间的距离为5 km.(2)方案:沿线段AB在水下铺设时,总铺设费用为5420(万元)方案:设BPD,则,其中0BAN.在RtBDP中,DP,BP,所以AP4DP4.则总铺设费用为2AP4BP886.设f(),则f(),令f()0,得,当变化时,f(),f()的变化情况如下表:f()0f()极小值所以f()的最小值为f.所以方案的总铺设费用最低为86(万元),此时AP4.而8620,所以应选择方案进行铺设,点P选在A镇的正西方向(4) km处,总铺设费用最低答当点P选在A镇的正西方向(4) km处时,总铺设费用最低