1、第2课时椭圆的几何性质及应用一、选择题1若点P(a,1)在椭圆1的外部，则a的取值范围为()A.B.C.D.答案B解析因为点P在椭圆1的外部，所以1，解得a或a，故选B.2若直线l：2xby30过椭圆C：10x2y210的一个焦点，则b等于()A1 B1 C1 D3答案C解析因为椭圆x21的焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，所以b1或1.3直线yx1与椭圆1的位置关系是()A相交 B相切C相离 D相切或相交答案A解析直线过点(0,1)，而01，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交4过椭圆1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A8,6 B4,3 C2， D4,2答案B解析由题意
2、知a2，b，c1，最长弦过两个焦点，长为2a4，最短弦垂直于x轴，长度为当xc1时，纵坐标的绝对值的2倍为3.5若直线y2xb与椭圆y21无公共点，则b的取值范围为()A(，)B(，)C(，)(，)D(，)答案C解析将y2xb代入y21，得x24bxb210，17b20，解得b.二、填空题6若点O和点F分别为椭圆y21的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP2PF2的最小值为_答案2解析设P(x0，y0)，而F(1,0)，OP2PF2xy(x01)2y.又y1，OP2PF2x2x03(x01)222.OP2PF2的最小值为2.7过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A
3、，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又A，B两点在椭圆上，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，e.8若直线ykx交椭圆y21于A，B两点，且AB，则k的取值范围为_答案解析由得x2.不妨设由两点间距离公式得AB210，解得k2.k的取值范围为.9如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率为_答案1解析由直线方程y(xc)，得直线与x轴的夹角MF1F2，且过点F1(c,0)MF
4、1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M.在RtF1MF2中，F1F22c，F1Mc，F2Mc，由椭圆定义，可得2acc，离心率e1.10若椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，则直线PA1的斜率的取值范围为_答案解析设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2.则k1k2.因为k22，1，所以k1.三、解答题11设直线yxb与椭圆y21相交于A，B两个不同的点(1)求实数b的取值范围；(2)当b1时，求|.解(1)将yxb代入y21，消去y，整理得3x24bx2b220.因为直线yxb与椭圆y21相交于A，
5、B两个不同的点，所以16b212(2b22)248b20，解得b0，b0)与直线x3y20的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为，若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程解设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)由题意得kAB0.点M，0，a23b2.又c4，a224，b28，经检验，a224，b28符合题意，椭圆C的方程为1.13已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)依题意，可设椭
6、圆C的方程为1(ab0)，知左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，由题意知直线l的斜率与直线OA的斜率相等，故可设直线l的方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，可得4，从而t2，由于24，4，所以符合题意的直线l不存在14已知椭圆1(ab0)的离心率为.设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足AQAO，则直线OQ的斜率为_答案解析设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx.设点Q的坐标为(x0，y0
7、)由条件得消去y0并整理得x.(*)由AQAO，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，故x0.代入(*)式，整理得(1k2)24k24.由离心率为知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直线OQ的斜率k.15已知两点F1(2,0)，F2(2,0)，曲线C上的动点M满足MF1MF22F1F2，直线MF2与曲线C交于另一点P.(1)求曲线C的方程及离心率；(2)设N(4,0)，若32，求直线MN的方程解(1)因为F1F24，MF1MF22F1F284，所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆曲线C的方程为1，离心率为.(2)显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行设M(xM，yM)，P(xP，yP)，直线MN的方程为yk(x4)，其中k0.由消去x，得(34k2)y224ky0，解得y0或y.依题意yM，xMyM4.因为32，所以，则.于是所以因为点P在椭圆上，所以324248.整理得48k48k2210，解得k2或k2(舍去)，从而k.所以直线MN的方程为y(x4)