1、2.3.2双曲线的几何性质一、选择题1已知双曲线1(a0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于()A. B. C. D.答案C解析由题意知a259，解得a2，e.2双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C1 D.答案B解析双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，顶点坐标为(1,0)，(1,0)，故顶点到渐近线的距离为.3已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案C解析已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，故有，所以，解得.故双曲线C的渐近线方程为yx，故选C.4已知双曲线方程为x21，过点P(1,0)的直线
2、l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A4条 B3条 C2条 D1条答案B解析因为双曲线方程为x21，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条5等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析等轴双曲线的一个焦点为F1(6,0)，c6，2a236，a218，双曲线的标准方程为1.二、填空题6已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为_答案90解析由，得2.又c2a2b2，a2b2，即ab，双曲线
3、的两条渐近线的夹角为90.7与双曲线x21有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是_答案1解析设所求双曲线的标准方程为x2.将点(2,2)代入，可得3，双曲线的标准方程为1.8F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为_答案解析如图，由双曲线定义得，BF1BF2AF2AF12a，因为ABF2是正三角形，所以BF2AF2AB，因此AF12a，AF24a，且F1AF2120，在F1AF2中，4c24a216a222a4a28a2，所以e.9已知双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点
4、F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_答案解析由题意求出双曲线中a3，b4，c5，则双曲线渐近线方程为yx，不妨设直线BF斜率为，可求出直线BF的方程为4x3y200，(*)将(*)式代入双曲线方程解得yB，则SAFBAF|yB|(ca).10若在双曲线1(a0，b0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为_答案(2，)解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x.依题意，在双曲线1(a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x与右支有两个交点，故应满足a，即2，得e2.三、解
5、答题11已知双曲线的一条渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264有相同的焦距，求双曲线的标准方程解由椭圆方程为1，可知椭圆的焦距为8.当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.由可知，双曲线的标准方程为1或1.12点P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1PF2，若F1PF2的面积是9，求ab的值解设PF1m，PF2n，则|mn|2a，又因为PF1PF2，所以m2n24c2，2得2mn4a24c2，所以mn2a22c
6、2.又因为F1PF2的面积是9，所以mn9，所以c2a29.又因为双曲线的离心率e，所以c5，a4，所以b3，所以ab7.13设双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围解直线l过(a,0)，(0，b)两点，得到直线方程为bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得点(1,0)到直线l的距离为d1，同理得到点(1,0)到直线l的距离为d2，由sc得到c.(*)将b2c2a2代入(*)式的平方，整理得4c425a2c225a40，两边同除以a4后，令x，得到4x225x
7、250，解得x5，又e，故e.即e的取值范围为.14F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|3|，则此双曲线的渐近线方程为_答案yx解析由双曲线的性质可得|b，则|3b.在MF1O中，|a，|c，cosF1OM，由余弦定理可知，又c2a2b2，所以a22b2，即，故此双曲线的渐近线方程为yx.15设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值解(1)将yx1代入双曲线y21中，得(1a2)x22a2x2a20，(*)所以解得0a且e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为P为直线与y轴的交点，所以P(0,1)因为，所以(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2.由于x1，x2是方程(*)的两根，且1a20，所以x2，x.消去x2，得.由a0，解得a.