1、2.5圆锥曲线的共同性质一、选择题1设双曲线的焦距为2c，两条准线间的距离为d，且cd，那么双曲线的离心率e等于()A2 B3 C. D.答案C解析c，c22a2，e22，e.2中心在原点，准线方程为y4，离心率为的椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.y21 Dx21答案B解析依题意得解得故椭圆的标准方程是1.3已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，右准线方程为x，则双曲线方程为()Ax21 B.y21C.y21 Dx21答案A解析由得所以b2312.所以双曲线方程为x21.4双曲线的方程为1，则以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程是()Ay2x By2xCx2y Dx2y答案B解析双曲
2、线的右准线方程为x，p，从而可得抛物线的标准方程为y2x.5椭圆1上一点P到左焦点的距离为6，则点P到右准线的距离是()A. B. C35 D.答案D解析易得点P到右焦点的距离为2a614，由圆锥曲线的统一定义，得e，d，点P到右准线的距离为.二、填空题6已知椭圆的一个焦点坐标为F1(0，2)，对应的准线方程为y，且离心率e满足，e，成等比数列，则此椭圆的方程为_答案x21解析，e，成等比数列，e2，则e.设P(x，y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义，得，化简得9x2y29，即x21.7已知双曲线1，F为其右焦点，A(4,1)为平面上一点，P为双曲线上任意一点，则PAPF的最小值为_答案解析
3、设P到右准线的距离为PQ.因为e，所以PFPQ，即PAPFPAPQ.而PAPQ的最小值为点A到右准线的距离，即44，故PAPF的最小值为.8已知A(1,0)，B(1,0)，点C(x，y)满足：，则ACBC_.答案4解析点C到B(1,0)的距离与它到直线x4的距离之比为，点C的轨迹是椭圆，且，4，a2，c1.点A恰好是椭圆的另一个焦点，ACBC2a4.9在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(ab0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2d1，则椭圆C的离心率为_答案解析依题意，d2c.又BFa，所以d1.由已知可得，所以c
4、2ab，即6c4a2(a2c2)，整理可得a23c2，所以离心率e.10已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且2，则椭圆C的离心率为_答案解析设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则BFa.作DD1y轴于点D1，则由2，得，所以DD1OF，即xD.由圆锥曲线的统一定义，得FDea.又由2，得a2a，整理得，即e2，所以e(舍去)或e.三、解答题11已知椭圆1，P为椭圆上的一点，F1，F2为左、右两个焦点，若PF1PF221，求点P的坐标解设点P的坐标为(x，y)椭圆1，a5，b4，c3.e，准线方程为x.由圆锥
5、曲线的统一定义知，PF1ed1x5，PF2ed25x.PF1PF221，21，解得x，代入椭圆的方程，得y.点P的坐标为或.12已知A，B为椭圆1上的两点，F2是椭圆的右焦点，若AF2BF2a，AB的中点M到椭圆的左准线的距离为，试确定该椭圆的方程解由椭圆的方程，可得ba，则ca，e，两准线间的距离为a.设A，B两点到右准线的距离分别是dA，dB，则，AF2BF2(dAdB)a，dAdB2a，则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a，于是点M到左准线的距离为aa，解得a1，故椭圆的方程为x21.13设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点F2到右准线l的距离为.(1)求a，b的
6、值；(2)设M，N是l上的两个动点，0，证明：当|取最小值时，0.(1)解因为e，F2到l的距离dc，所以由题设得解得c，a2.由b2a2c22，得b.故a2，b.(2)证明由c，a2得F1(，0)，F2(，0)，l的方程为x2，故可设M(2，y1)，N(2，y2)由0知(2，y1)(2，y2)0，得y1y26，所以y1y20，y2.|y1y2|y1|2，当且仅当y1时，上式取等号，此时y2y1，所以，(2，0)(，y1)(，y2)(0，y1y2)0.14若双曲线1(a0，b0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是_答案(2，)解析由已知得e，即3c2
7、5ac2a2，所以3e25e20，解得e2或e(舍去)15已知椭圆1上不同的三点A(x1，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列(1)求证：x1x28；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T，求直线BT的斜率(1)证明由已知得a5，b3，c4，e.因为AFaex15x1，CFaex25x2，BF54，且AFCF2BF，所以，即x1x28.(2)解因为A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上，所以1，1，由得yy(x1x2)(x1x2)(x1x2)(y1y2)又因为线段AC的中点为，所以线段AC的垂直平分线的方程为y(x4)又因为点T在x轴上，则设点T的坐标为(x0,0)，代入得x04，所以x04.所以直线BT的斜率k.故直线BT的斜率为.