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《2.5圆锥曲线的共同性质》课时对点练(含答案)

1、2.5圆锥曲线的共同性质一、选择题1设双曲线的焦距为2c,两条准线间的距离为d,且cd,那么双曲线的离心率e等于()A2 B3 C. D.答案C解析c,c22a2,e22,e.2中心在原点,准线方程为y4,离心率为的椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.y21 Dx21答案B解析依题意得解得故椭圆的标准方程是1.3已知双曲线1(a0,b0)的离心率为,右准线方程为x,则双曲线方程为()Ax21 B.y21C.y21 Dx21答案A解析由得所以b2312.所以双曲线方程为x21.4双曲线的方程为1,则以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程是()Ay2x By2xCx2y Dx2y答案B解析双曲

2、线的右准线方程为x,p,从而可得抛物线的标准方程为y2x.5椭圆1上一点P到左焦点的距离为6,则点P到右准线的距离是()A. B. C35 D.答案D解析易得点P到右焦点的距离为2a614,由圆锥曲线的统一定义,得e,d,点P到右准线的距离为.二、填空题6已知椭圆的一个焦点坐标为F1(0,2),对应的准线方程为y,且离心率e满足,e,成等比数列,则此椭圆的方程为_答案x21解析,e,成等比数列,e2,则e.设P(x,y)是椭圆上任意一点,根据椭圆的定义,得,化简得9x2y29,即x21.7已知双曲线1,F为其右焦点,A(4,1)为平面上一点,P为双曲线上任意一点,则PAPF的最小值为_答案解析

3、设P到右准线的距离为PQ.因为e,所以PFPQ,即PAPFPAPQ.而PAPQ的最小值为点A到右准线的距离,即44,故PAPF的最小值为.8已知A(1,0),B(1,0),点C(x,y)满足:,则ACBC_.答案4解析点C到B(1,0)的距离与它到直线x4的距离之比为,点C的轨迹是椭圆,且,4,a2,c1.点A恰好是椭圆的另一个焦点,ACBC2a4.9在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为1(ab0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2d1,则椭圆C的离心率为_答案解析依题意,d2c.又BFa,所以d1.由已知可得,所以c

4、2ab,即6c4a2(a2c2),整理可得a23c2,所以离心率e.10已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且2,则椭圆C的离心率为_答案解析设椭圆C的焦点在x轴上,如图所示,B(0,b),F(c,0),D(xD,yD),则BFa.作DD1y轴于点D1,则由2,得,所以DD1OF,即xD.由圆锥曲线的统一定义,得FDea.又由2,得a2a,整理得,即e2,所以e(舍去)或e.三、解答题11已知椭圆1,P为椭圆上的一点,F1,F2为左、右两个焦点,若PF1PF221,求点P的坐标解设点P的坐标为(x,y)椭圆1,a5,b4,c3.e,准线方程为x.由圆锥

5、曲线的统一定义知,PF1ed1x5,PF2ed25x.PF1PF221,21,解得x,代入椭圆的方程,得y.点P的坐标为或.12已知A,B为椭圆1上的两点,F2是椭圆的右焦点,若AF2BF2a,AB的中点M到椭圆的左准线的距离为,试确定该椭圆的方程解由椭圆的方程,可得ba,则ca,e,两准线间的距离为a.设A,B两点到右准线的距离分别是dA,dB,则,AF2BF2(dAdB)a,dAdB2a,则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a,于是点M到左准线的距离为aa,解得a1,故椭圆的方程为x21.13设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e,点F2到右准线l的距离为.(1)求a,b的

6、值;(2)设M,N是l上的两个动点,0,证明:当|取最小值时,0.(1)解因为e,F2到l的距离dc,所以由题设得解得c,a2.由b2a2c22,得b.故a2,b.(2)证明由c,a2得F1(,0),F2(,0),l的方程为x2,故可设M(2,y1),N(2,y2)由0知(2,y1)(2,y2)0,得y1y26,所以y1y20,y2.|y1y2|y1|2,当且仅当y1时,上式取等号,此时y2y1,所以,(2,0)(,y1)(,y2)(0,y1y2)0.14若双曲线1(a0,b0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线的离心率的取值范围是_答案(2,)解析由已知得e,即3c2

7、5ac2a2,所以3e25e20,解得e2或e(舍去)15已知椭圆1上不同的三点A(x1,y1),B,C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列(1)求证:x1x28;(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T,求直线BT的斜率(1)证明由已知得a5,b3,c4,e.因为AFaex15x1,CFaex25x2,BF54,且AFCF2BF,所以,即x1x28.(2)解因为A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上,所以1,1,由得yy(x1x2)(x1x2)(x1x2)(y1y2)又因为线段AC的中点为,所以线段AC的垂直平分线的方程为y(x4)又因为点T在x轴上,则设点T的坐标为(x0,0),代入得x04,所以x04.所以直线BT的斜率k.故直线BT的斜率为.