1、2.4.2抛物线的几何性质一、选择题1设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)答案D解析抛物线的焦点到顶点的距离为3，3，即p6.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，抛物线上的点到准线距离的取值范围是3，)2若抛物线y24x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为()A4 B5 C6 D7答案A解析由题意，知抛物线y24x的准线方程为x1，抛物线y24x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，2)，点P到抛物线的准线的距离为314，点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.3P为抛物线y22px的焦点弦AB的中
2、点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是AA1，BB1，PP1，则有()APP1AA1BB1 BPP1ABCPP1AB DPP10)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案B解析抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，代入y22px消去x，得y22pyp2，即y22pyp20，p2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y24x，准线方程为x1.二、填空题6设抛物线y216x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离PF_.答案13解析设P(x,12
3、)，代入y216x，得x9，PFx9413.7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是_答案4p解析设A，B在y22px上，另一个顶点为O，则A，B关于x轴对称，则AOx30，则OA的方程为yx.联立解得A(6p,2p)，AOB的边长为4p.8设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若OAOB，且AOB的面积为16，则AOB_.答案90解析由OAOB知，抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a0，SAOB2a16，解得a4.AOB为等腰直角三角形，AOB90.9过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线
4、上的投影为A1，B1，则A1FB1_.答案90解析如图，由抛物线定义知，AA1AF，BB1BF，所以AA1FAFA1.又AA1FA1FO，AFA1A1FO.同理BFB1B1FO.AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.10已知A，B是抛物线y22px(p0)上不同的两点，O为坐标原点，若OAOB，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，直线AB的方程为_答案x解析如图所示设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，y0)又F是AOB的垂心，则AFOB，kAFkOB1，即1，yx0.又y2px0，x02p.因此直线AB的方程为x.三、解答题11若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为
5、焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且AM，AF3，求此抛物线的标准方程解设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，A(x0，y0)，由题意知M.AF3，y03.AM，x217，x8，代入方程x2py0，得82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.12已知当抛物线形拱桥的顶点距离水面2 m时，测量水面宽为8 m，当水面上升 m后，则水面的宽度是多少？解以抛物线形拱桥的顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)把B(4，2)代入得164p，所以p4，所以x28y.把y代入得x2.所以此时水面的宽度为4 m.13已知过抛物线y
6、22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，则P(1，1)，代入抛物线方程得p，抛物线x2y，代入点(x，2)，得x，即水池半径最小为r(1) m，水池直径最小为2r(22) m.15如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求直线BC的斜率解设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y，得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB，即xB，以k代换xB中的k，得xC，kBC.