1、2017-2018学年陕西省延安市黄陵县二校联考高新部高一（上）期末数学试卷一、单项选择（60分）1（5分）已知集合At2+s2|t，sZ，且xA，yA，则下列结论正确的是（）Ax+yABxyACxyAD2（5分）设集合A3，4，5，B3，6，Px|xA，Qx|xB，则PQ（）A3B3，4，5，6C3D3，3（5分）已知集合，a3则下列关系式成立的是（）AaABaACaADaA4（5分）设集合A2，1，B1，2，定义集合ABx|xx1x2，x1A，x2B，则AB中所有元素之积为（）A8B16C8D165（5分）下列各个关系式中，正确的是（）A0BC3，55，3D1x|x2x6（5分）设集合Ma
2、|xR，x2+ax+10，集合Na|xR，（a3）x+10，若命题p：aM，命题q：aN，那么命题p是命题q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件7（5分）含有三个实数的集合可表示为a，1，也可表示为a2，a+b，0，则a2012+b2013的值为（）A0B1C1D18（5分）已知集合bxR|ax24x+10，a，bR则a+b（）A0或1BCD或9（5分）以下元素的全体不能够构成集合的是（）A中国古代四大发明B周长为10cm的三角形C方程x210的实数解D地球上的小河流10（5分）下列关系式中，正确的是（）A0B00C00D011（5分）若a2，0，1a，b，0
3、，则a2007+b2007的值为（）A0B1C1D212（5分）下列六个关系式：a，bb，aa，bb，a00000其中正确的个数为（）A6个B5个C4个D少于4个二、填空题（20分）13（5分）集合A0，1，x，Bx2，y，1，若AB，则y 14（5分）已知集合Aa+2，2a2+a，若3A，则a的值为 15（5分）定义ABx|xA且xB，已知A2，3，B1，3，4，则AB 16（5分）已知集合M3，m+1，4M，则实数m的值为 三、解答题（70分）（17题10分，其余12分）17（10分）已知由方程kx28x+160的根组成的集合A只有一
4、个元素，试求实数k的值18（12分）设集合A中含有三个元素3，x，x22x（1）求实数x应满足的条件；（2）若2A，求实数x19（12分）已知集合Ax|xm2n2，mZ，nZ求证：（1）3A；（2）偶数4k2（kZ）不属于A20（12分）设Sx|xm+n，m、nZ（1）若aZ，则a是否是集合S中的元素？（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1x2是否属于S？21（12分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1+x2q+xnqn1，xiM，i1，2，n（）当q2，n3时，用列举法表示集合A；（）设s，tA，sa1+a2q+anqn1，tb1+b
5、2q+bnqn1，其中ai，biM，i1，2，n证明：若anbn，则st22（12分）对正整数n，记In1，2，3，n，Pn|mIn，kIn（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集2017-2018学年陕西省延安市黄陵县二校联考高新部高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择（60分）1（5分）已知集合At2+s2|t，sZ，且xA，yA，则下列结论正确的是（）Ax+yABxyACxyAD【分析】由已知中集合At2+s2|t，sZ，即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式
6、，可得102+12，212+12，即x1A，y2A，分别判断x+y，xy，xy，是否符合A集合中的条件，排除错误答案后，即可得到结论【解答】解：集合At2+s2|t，sZ，1A，2A，1+23A，故A“x+yA”错误；又121A，故B“xyA”错误；又A，故D“”错误；故选：C【点评】本题考查的考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中要判断一个元素属于一个集合，只要该元素符合集合的条件即可，而如果元素不符号集合的条件，则元素一定不属于该集合2（5分）设集合A3，4，5，B3，6，Px|xA，Qx|xB，则PQ（）A3B3，4，5，6C3D3，【分析】先利用集合P，Q的属性结合列举法表示出来，再
7、利用集合交集的运算法则，求出两个集合的公共部分即可【解答】解：集合Px|xA表示集合A的子集构成的集合，故P，3，4，5，3，4，3，5，4，5，3，4，5，同样Q，3，6，3，6PQ3，；故选：D【点评】考查集合的基本运算，注意集合的属性的应用，属于基础题型3（5分）已知集合，a3则下列关系式成立的是（）AaABaACaADaA【分析】由已知中集合，a3，我们易判断出元素a与集合A的关系，进而得到集合a与集合A的关系，进而得到答案【解答】解：32aA，故A，B错误，aa，故C正确，D错误故选：C【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断及应用，熟练掌握元素与集合，集合
8、与集合关系的判断及表示，是解答本题的关键4（5分）设集合A2，1，B1，2，定义集合ABx|xx1x2，x1A，x2B，则AB中所有元素之积为（）A8B16C8D16【分析】由集合A2，1，B1，2，定义集合ABx|xx1x2，x1A，x2B，知AB2，4，1，由此能求出AB中所有元素之积【解答】解：集合A2，1，B1，2，定义集合ABx|xx1x2，x1A，x2B，AB2，4，1，故AB中所有元素之积为：2（4）（1）8故选：C【点评】本题考查元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意AB的定义和求法5（5分）下列各个关系式中，正确的是（）A0BC3，55，3D1x|x2x【分析
9、】根据题意，依次分析选项，对于A，空集是任何集合的子集，则A错误；对于B，是无理数，则B错误；对于C，根据集合元素的无序性，则C错误；对于D，易得x|x2x0，1，根据子集的定义，D正确【解答】解：根据题意，依次分析选项可得，对于A，空集是任何集合的子集，即0，A错误；对于B，是无理数，则Q，B错误；对于C，根据集合元素的无序性，有3，55，3，C错误；对于D，x|x2x0，1，则有1x|x2x，D正确故选：D【点评】本题考查集合的基本概念、集合与元素的关系以及集合之间的关系，是基础题；根据基本概念，审清题意即可6（5分）设集合Ma|xR，x2+ax+10，集合Na|xR，（a3）x+10，若
10、命题p：aM，命题q：aN，那么命题p是命题q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】先分别化简集合M，N，再判断命题p与命题q之间的推出关系，从而判断命题p是命题q的充分不必要条件【解答】解：由题意，对于集合M，a240，解得2a2；对于集合N，a3若2a2，则a3；反之，不成立故选：A【点评】本题以集合为载体，考查四种条件的判断，关键是化简集合M，N，再利用定义进行判断7（5分）含有三个实数的集合可表示为a，1，也可表示为a2，a+b，0，则a2012+b2013的值为（）A0B1C1D1【分析】根据题意可得a，1a2，a+b，0，由集合相等的意义可得
11、a0或0，结合分式的性质分析可得b0，进而可得a21，即a1或a1，结合集合元素的性质，分析可得a的值，将a、b的值，代入a2012+b2013中，计算可得答案【解答】解：根据题意，由a，1a2，a+b，0可得a0或0，又由的意义，则a0，必有0，则b0，则a，0，1a2，a，0，则有a21，即a1或a1，集合a，0，1中，a1，则必有a1，则a2012+b2013（1）2012+020131，故选：B【点评】本题考查集合相等的定义与集合元素的性质，关键是由集合相等的含义，得到a、b的值8（5分）已知集合bxR|ax24x+10，a，bR则a+b（）A0或1BCD或【分析】由集合bxR|ax2
12、4x+10，a，bR，a0，或164a0由此进行分类讨论，能求出a+b的值【解答】解：集合bxR|ax24x+10，a，bR，a0，或164a0当a0时，bx|4x+10，即b，a+b；当164a0时，a4，bx|4x24x+10，即b，a+b故选：D【点评】本题考查集合中元素的性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意不要遗漏a0的情况9（5分）以下元素的全体不能够构成集合的是（）A中国古代四大发明B周长为10cm的三角形C方程x210的实数解D地球上的小河流【分析】地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合【解答】解：在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A能构成集合；在B中
13、，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集合，故B能构成集合；在C中，方程x210的实数解为1，能构成集合，故C能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，故D不能构成集合故选：D【点评】本题考查集合的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素的性质的合理运用10（5分）下列关系式中，正确的是（）A0B00C00D0【分析】元素与集合之间用“”或“”，集合与集合之间不能用“”或“”【解答】解：对于A0，用“”不对，对于B和C，元素0与集合0用“”连接，故C正确；对于D，空集没有任何元素，0有一个元素，故不正确【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题11（5分）
14、若a2，0，1a，b，0，则a2007+b2007的值为（）A0B1C1D2【分析】根据集合相等的定义求出a，b即可得到结论【解答】解：若a2，0，1a，b，0，则，即，当a0时，集合a，b，00，0，1不成立a1，b1a2007+b2007110故选：A【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等确定元素相同，是解决本题的关键，比较基础，注意要进行检验12（5分）下列六个关系式：a，bb，aa，bb，a00000其中正确的个数为（）A6个B5个C4个D少于4个【分析】本题利用元素与集合的关系进行判断，以及集合自身是自身的子集、空集是任何集合的子集进行判定即可【解答】解：根据集合自身是自身
15、的子集，可知正确；根据集合无序性可知正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知不正确；根据元素与集合之间可知正确；根据空集是任何集合的子集可知正确故选：C【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合子集的判定，属于基础题二、填空题（20分）13（5分）集合A0，1，x，Bx2，y，1，若AB，则y0【分析】根据集合关AB，得到两个集合元素之间的关系，从而确定y【解答】解：A0，1，x，Bx2，y，1，且AB，x1，此时集合A0，1，1，B1，y，1，y0故答案为：0【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用集合关系相等确定元素关系是解决此类问题的关键14（5分）已知集合Aa+2，2a2
16、+a，若3A，则a的值为【分析】根据3是集合中的元素，求出a值，再验证集合中元素的互异性即可【解答】解：3A，a+23或2a2+a3；当a+23时，a1，2a2+a3，根据集合中元素的互异性，a1不合题意；当2a2+a3时，a1或a，a时，A，3，符合题意综上a故答案是【点评】本题考查集合中元素的性质及元素与集合的关系15（5分）定义ABx|xA且xB，已知A2，3，B1，3，4，则AB2【分析】利用定义ABx|xA且xB，直接求解【解答】解：A2，3，B1，3，4，又ABx|xA且xB，AB2故答案为：2【点评】本题考查AB的求法，考查AB的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
17、想，是基础题16（5分）已知集合M3，m+1，4M，则实数m的值为3【分析】利用元素与集合的关系直接求解【解答】解：集合M3，m+1，4M，4m+1，解得m3故答案为：3【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用三、解答题（70分）（17题10分，其余12分）17（10分）已知由方程kx28x+160的根组成的集合A只有一个元素，试求实数k的值【分析】利用k是否为0，化简方程，然后求解k即可【解答】解：当k0时，原方程变为8x+160，所以x2，此时集合A中只有一个元素2当k0时，要使一元二次方程kx28x+160有一个实根，需6464k0，即k1
18、此时方程的解为x1x24，集合A中只有一个元素4综上可知k0或1【点评】本题主要考查函数与方程的应用，二次函数的性质的应用，是基础题18（12分）设集合A中含有三个元素3，x，x22x（1）求实数x应满足的条件；（2）若2A，求实数x【分析】（1）由集合元素的互异性直接求解（2）若2A，则x2或x22x2由此能出x【解答】解：（1）由集合元素的互异性可得：x3，x22xx且x22x3，解得x1，x0且x3（2）若2A，则x2或x22x2由于x22x（x1）211，所以x2【点评】本题考查集合中元素的性质、实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用19（12分）已知
19、集合Ax|xm2n2，mZ，nZ求证：（1）3A；（2）偶数4k2（kZ）不属于A【分析】（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论【解答】解：（1）32212，3A；（2）设4k2A，则存在m，nZ，使4k2m2n2（m+n）（mn）成立，1、当m，n同奇或同偶时，mn，m+n均为偶数，（mn）（m+n）为4的倍数，与4k2不是4的倍数矛盾2、当m，n一奇，一偶时，mn，m+n均为奇数，（mn）（m+n）为奇数，与4k2是偶数矛盾综上4k2A【点评】本题考查元素与集合关系的判断分类讨论
20、的思想20（12分）设Sx|xm+n，m、nZ（1）若aZ，则a是否是集合S中的元素？（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1x2是否属于S？【分析】（1）由aZ，得到aa+0S从而a是集合S的元素（2）设x1m+n，x2p+q，m、n、p、qZ则x1+x2（m+n）+（p+q），x1x2（m+n）（p+q）（mp+2nq）+（mq+np），从而推导出x1+x2、x1x2都属于S【解答】解：（1）Sx|xm+n，m、nZ，aZ，aa+0Sa是集合S的元素（2）不妨设x1m+n，x2p+q，m、n、p、qZ则x1+x2（m+n）+（p+q）（m+n）+（p+q），m、n、p、qZp+
21、qZ，m+nZx1+x2S，x1x2（m+n）（p+q）（mp+2nq）+（mq+np），m、n、p、qZ故mp+2nqZ，mq+npZx1x2S综上，x1+x2、x1x2都属于S【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用21（12分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1+x2q+xnqn1，xiM，i1，2，n（）当q2，n3时，用列举法表示集合A；（）设s，tA，sa1+a2q+anqn1，tb1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i1，2，n证明：若anbn，则st【分析】（）当q2，n
22、3时，M0，1，Ax|xx1+x22+x322，xiM，i1，2，3即可得到集合A（）由于ai，biM，i1，2，nanbn，可得anbn1由题意可得st（a1b1）+（a2b2）q+（an1bn1）qn2+（anbn）qn1（q1）+（q1）q+（q1）qn2qn1再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（）解：当q2，n3时，M0，1，Ax|xx1+x22+x322，xiM，i1，2，3可得A0，1，2，3，4，5，6，7（）证明：由设s，tA，sa1+a2q+anqn1，tb1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i1，2，nanbn，st（a1b1）+（a2b2）q+（an1bn
23、1）qn2+（anbn）qn1（q1）+（q1）q+（q1）qn2qn1（q1）（1+q+qn2）qn1qn110st【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题22（12分）对正整数n，记In1，2，3，n，Pn|mIn，kIn（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集【分析】（1）对于集合P7 ，有n7当k4时，根据Pn中有3个数与In1，2，3，n中的数重复，由此求得集合P7中元素
24、的个数（2）先用反证法证明证当n15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值【解答】解：（1）对于集合P7 ，有n7当k1时，m1，2，3，7，Pn1，2，3，7，7个数，当k2时，m1，2，3，7，Pn对应有7个数，当k3时，m1，2，3，7，Pn对应有7个数，当k4时，Pn|mIn，kInPn，1，2，3，中有3个数（1，2，3）与k1时Pn中的数重复，当k5时，m1，2，3，7，Pn对应有7个数，当k6时，m1，2，3，7，Pn对应有7个数，当k7时，m1，2，3，7，Pn对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为 77346（2）先证当n15时
25、，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集假设当n15时，Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使ABPnIn不妨设1A，则由于1+322，3A，即3B同理可得，6A，10B又推出15A，但1+1542，这与A为稀疏集相矛盾再证P14满足要求当k1时，P14|mI14，kI14I14，可以分成2个稀疏集的并集事实上，只要取A11，2，4，6，9，11，13，B13，5，7，8，10，12，14，则A1和B1都是稀疏集，且A1B1I14当k4时，集合|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合，可以分为下列3个稀疏集的并：A2，B2，当k9时，集合|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合，可以分为下列3个稀疏集的并：A3，B3，最后，集合C|mI14，kI14，且k1，4，9 中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令AA1A2A3C，BB1B2B3，则A和B是不相交的稀疏集，且ABP14综上可得，n的最大值为14【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题