1、3.3.2极大值与极小值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数极值的概念函数yf(x)的图象如图所示思考1函数在xa处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？答案函数在xa处的函数值比它在xa附近的其他点的函数值都小思考2f(a)为多少？在xa附近，函数的导数的符号有什么规律？答案f(a)0，在xa的左侧f(x)0.梳理(1)极小值函数yf(x)在xa处的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在xa的左侧f(x)0.f(a)叫做函数yf(x)的
2、极小值(2)极大值函数yf(x)在xb处的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极大值如果在x0附近的左侧f(x)0，那么，f(x0)是极小值 1函数的极小值一定小于它的极大值()2f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值()3若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数()4函数yx3x22x3存在极值()类型一求函数的极值例1求下列函数的极值：(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)3ln x.解(1)函数f(x)2x33x212x1的定义域为R，
3、f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值21极小值6所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x)；(2)求f(x)的驻点，即求方
4、程f(x)0的根；(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图象也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断跟踪训练1求下列函数的极值：(1)f(x)x34x4；(2)f(x)x2ex.解(1)f(x)x34x4，f(x)的定义域为R，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，解得x12，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2).(2)函
5、数的定义域为R，f(x)2xexx2exxex(2x)，令f(x)0，得x10，x22，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,0)0(0，)f(x)00f(x)4e20由上表可以看出，当x2时，函数有极大值为f(2)4e2.当x0时，函数有极小值为f(0)0.类型二已知函数极值求参数例2(1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.(2)若函数f(x)x3x2ax1有极值，则a的取值范围为_答案(1)29(2)(，1)解析(1)f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)2
6、0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.(2)f(x)x22xa，由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根，44a0，解得a1.引申探究1若例(2)中函数在x1处取到极大值，求a的值解f(x)x22xa，由题意得f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值2若例(2)中函数f(x)有两个极值，均为正数，求a的取值范围解由题意得方程x22xa0有
7、两个不等的正根，设为x1，x2，则解得0a0)，故f(x)x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数取得极大值ln 2.类型三函数极值的综合应用例3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x
8、)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16m或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)知，yf(x)图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即当实数a的取值范围为(54，54)时，方程f(x)a有三个不同的实根1函数y3x
9、39x5的极大值为_答案11解析y9x29.令y0，得x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极大值极小值从上表可以看出，当x1时，函数y有极大值3(1)39(1)511.2若函数f(x)axln x在x处取得极值，则实数a_.答案解析f(x)a，令f0，即a0，解得a.3已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_答案(，3)(6，)解析f(x)3x22axa6，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a3.4设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)在xx1和xx2处取得极值，且
10、x1x21，则实数a的值为_答案9解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9.5已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，若函数f(x)在x1处取得极值，则b_，c_.答案13解析f(x)x22bxc，由f(x)在x1处取得极值，得解得或若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)，当3x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值.故b1，c3.1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题