1、1巧用法则求导数导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明1函数和(或差)的求导法则(f(x)g(x)f(x)g(x)例1求下列函数的导数：(1)f(x)ln x；(2)yx32x3.解(1)f(x).(2)y(x3)(2x)33x22.点评记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导2函数积的求导法则f(x)g(x)f(x)
2、g(x)f(x)g(x)例2求下列函数的导数：(1)f(x)x2ex；(2)f(x)(x1)(x2)(x3)解(1)f(x)(x2ex)(x2)exx2(ex)2xexx2ex.(2)f(x)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11.点评特别要注意：f(x)g(x)f(x)g(x)同时要记住结论：若C为常数，则Cf(x)Cf(x)，由此进一步可以得到af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函数商的求导法则(g(x)0)例3求下
3、列函数的导数：(1)f(x)；(2)f(x)tan x；(3)f(x) .解(1)f(x).(2)f(x)(tan x).(3)因为f(x)，所以f(x).点评应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率4分式求导对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决例4求下列函数的导数：(1)y；(2)y.解(1)因为yx1，所以y11.(2)因为yx2x3x4，所以y2x3x24x3.点评本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”2导
4、数计算中的“陷阱”导数的计算是导数学习中的一个重要方面但由于同学们不能熟记公式及法则，不能理解公式中的对应量的含义，不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误现对求导过程中的常见错误进行梳理，希望对同学们有所帮助1未能区分好变量与常量而致错例1求f(x)axcos a的导数(其中a为常数)错解f(x)axln asin a.错因分析本题错在忽视变量ax与常量cos a的不同，常量的导数应为0.正解f(x)axln a.2忽视导数定义中严谨结构例2已知函数f(x)2x35，求当x0时，趋近于何值错解一因为2412x2x2.当x0时，24.所以24.错解二因为2412x2x2，当x0时，24.所以
5、32472.错因分析未能把握导数定义中y与x的严格对应关系，实际上中增量x分子与分母要一致，这与用哪个字母没关系正解因为2412x2x2，当x0时，24.所以(3)2472.3混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数例3已知f(x)，求f(2 015)错解f(2 015)0，f(2 015)(0)0.错因分析f(2 015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数，应先求f(x)，再求f(2 015)正解f(x)，f(2 015).指点迷津上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解，因此大家学习中应注重基础，注重知识生成及本质规律错误并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教训 3导数运算的常用技巧同学
6、们是否有这样的感受，求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时，仍然很困难，甚至无从下手？虽然掌握了基础知识，但还要掌握一定的方法和技巧，方能彻底解决问题，下面举几例来说明1多项式函数展开处理例1求f(x)(x3)(x2)(x1)的导数分析若f(x)的表达式为两个因式相乘可以展开求导，也可以不展开而利用积的求导法则，但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导解f(x)(x3)(x2)(x1)x36x211x6，f(x)3x212x11.2分式函数化整式函数例2求函数f(x)的导数分析如果直接利用积与商的求导法则，运算将很烦琐，不如先看分子、分母有无公因式可约分解f(x)x21(x2)f(
7、x)(x21)2x(x2)3无理函数化有理函数例3求函数y的导数分析直接利用商的求导法则，运算量很大，且容易出错，不妨先通分变“无理”为“有理”解y2，y.整体总评上述三个实例虽然细节处理不相同，但都体现了化归思想这一重要方法，先变形(化简)再解决问题；当然化归是为了更简捷、更方便处理问题，化归不一定要化简到最简单，而是化归到最合适比如求tan x的导数，tan x本身形式已较简单，但仍然用不上所学知识，因此可考虑将tan x变形为，从而使问题得到解决，总之同学们要明确化归的目的，是为更容易用所学知识解决问题4利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一而导数f(x0)的几何意义为曲线
8、yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法现对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳1已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可例1曲线f(x)x33x21在点(1，1)处的切线方程为_解析由f(x)3x26x知，在点(1，1)处的斜率kf(1)3.所以切线方程为y(1)3(x1)，即y3x2.答案y3x22已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例2求过曲线f(x)x32x上的点(1，1)的切线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0)
9、3x2.所以切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y，即xy20或5x4y10.点评可以发现直线5x4y10并不以(1，1)为切点，实际上是经过点(1，1)，且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点3已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例3求过点(2,0)且与曲线f(x)相切的直线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0).所以切线方程为yy0(xx0)，即y(xx
10、0)又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，得(2x0)解得x01，y01，即xy20.点评点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性4求两条曲线的公切线例4已知曲线C1：yx2与C2：yx24x4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程分析设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解解设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，x4x24)由C1：yx2，得y2x，则与C1相切于点P的切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx，由C2：yx24x4，
11、得y2x4，则与C2相切于点Q的切线方程为y2(x22)xx4.因为两切线重合，所以2x12(x22)，且xx4，解得x10，x22或x12，x20.所以直线l的方程为y0或y4x4.点评公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解.5导数中的构造函数问题对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式题型一作差变形构造函数例1f(x)exax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点
12、(0,1)处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex.(1)解由f(x)exax，得f(x)exa.因为f(0)1a1，所以a2，所以f(x)ex2x，f(x)ex2，令f(x)0，得xln 2，当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上单调递增所以当x0时，g(x)g(0)10，即x2
13、ex.题型二分拆变形构造函数例2已知函数f(x)(ln xk1)x(kR)(1)若对于任意xe，e2，都有f(x)4ln x成立，求k的取值范围；(2)若x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x2e2k.(1)解由题意，得f(x)4ln x0，即问题转化为(x4)ln x(k1)x对于xe，e2恒成立，令g(x)，则g(x)，令t(x)4ln xx4，xe，e2，则t(x)10，所以t(x)在区间e，e2上单调递增，故t(x)mint(e)e44e0，故g(x)0，所以g(x)在区间e，e2上单调递增，函数g(x)maxg(e2)2.要使k1对于xe，e2恒成立，只要k1g(x)max，
14、所以k12，即实数k的取值范围为.(2)证明因为f(x1)f(x2)，由(1)知，函数f(x)在区间(0，ek)上单调递减，在区间(ek，)上单调递增，且f(ek1)0.不妨设x1x2，则0x1ekx2ek1，要证x1x2e2k，只要证x2，即证ekx2.因为f(x)在区间(ek，)上单调递增，所以f(x2)f，又f(x1)f(x2)，即证f(x1)f，构造函数h(x)f(x)f(ln xk1)x，即h(x)xln x(k1)xe2k，x(0，ek)h(x)ln x1(k1)e2k(ln xk)，因为x(0，ek)，所以ln xk0，x20，所以函数h(x)在区间(0，ek)上单调递增，故h(
15、x)h(ek)，而h(ek)f(ek)f0，故h(x)0，所以f(x1)f，即f(x2)f(x1)f，所以x1x2e2k成立题型三换元变形构造函数例3已知函数f(x)axln x(aR)，g(x).若k(x)f(x)g(x)恰有三个不同的零点x1，x2，x3(x1x20，证明如下：令y2xln x(x0)，y2.当x时，y0，函数y2xln x在上单调递增所以当x时，y2xln x取得最小值1ln .所以当x(0，)时，2xln x0.令h(x)0，可得x1或e.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，e)e(e，)h(x)00h(x)极小值极大值h(x)的极小值为
16、h(1)1，h(x)的最大值为h(e)，所以实数a的取值范围为.(2)证明由(1)可知，当0x11x2ex3时，a.令t，则at，即t2(a1)t1a0，t1t21a0，t1t21a0.不妨设t1t2，则t100)，t(x)，当x(0，e)时，t(x)0，t(x)在(0，e)上单调递增；当x(e，)时，t(x)0，t(x)在(e，)上单调递减显然，当x(0,1)时，t(x)0.所以t1，t2.所以222(1t1)2(1t2)(1t2)2221.即21.6导数中的分类讨论思想分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？1
17、按导数为零的根的大小来分类例1设函数f(x)x(xa)2(xR)，其中aR且a0，求函数f(x)的极大值和极小值解f(x)(3xa)(xa)，令f(x)0，解得xa或x.当a，即a0，x时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，因此，函数f(x)在x处取得极小值a3，在xa处取得极大值0.当a，即a0，x(，a)时，f(x)0，当x时，f(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数f(x)单调递增(2)当a0时，由f(x)0，解得x11，x21，当a，即x1x2时，h(x)0恒成立，此时f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减；当0a10，x(0,1)时，
18、h(x)0，f(x)0，f(x)单调递减，x时，h(x)0，f(x)单调递增，x时，h(x)0，f(x)0，f(x)单调递减；当a0时，100，f(x)0，f(x)单调递减，x(1，)时，h(x)0，f(x)单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当0a2时，方程g(x)0的根为x1ln 0，此时，若x(0，x2)，则g(x)0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数所以当x(0，x2)时，g(x)g(0)0，即f(x)0)在x(1,1)内没有极值点，试求实数a的取值范围分析“没有极值点”即导数方程在区间(
19、1,1)内无解；在实数集上无解，或在实数集上有解但其根均在区间(1,1)之外解析由题意，得f(x)3x22axa2，令f(x)0，解得x或xa.依题意知，两根不在区间(1,1)内，则所以a3，因此a的取值范围为3，)点评本题还可以利用补集思想，先求出函数在(1,1)内有极值点时a的取值范围，再取其补集即可2破解唯一极值点类型例2若函数f(x)x4ax32x2b，其中a，bR，仅在x0处存在极值，则实数a的取值范围是_分析问题中的“仅”即“存在且唯一”的意思，由此可得对应符号语言解析由题意f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)，而已知函数f(x)仅在x0处存在极值，这说明方程4x23ax
20、40要么无解，要么有两个相同实数根，因此它的判别式(3a)2640，解得a，即a的取值范围是.答案点评对于导函数为三次函数的情形，要充分对三次式进行因式分解，这样便于显现出f(x)0的根的情况3破解多个极值点类型例3如果函数f(x)ax5bx3c(a0)在x1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a，b，c的值分析本题主要考查利用函数的极值来确定参数的值，解决本题的关键是运用待定系数法求a，b，c的值解y5ax43bx2，令y0，即5ax43bx20，x2(5ax23b)0.x20或5ax23b0.x1是极值点，5a(1)23b0，5a3b.极值点可能为x0，x1.a0，y5ax2(x21)当
21、x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)y000y极大值无极值极小值由上表可知，当x1时，f(x)有极大值，当x1时，f(x)有极小值经检验a3，b5，c2符合题意点评对于导函数的零点较多时，要充分利用表格寻找极值点.8导数应用中的常见误区虽然导数确实为我们解决函数问题带来了便利，但如果混淆某些概念，忽视了定理的应用条件，就会得出错误的结论本文将介绍在解题中出现的几种典型错误，以帮助大家走出误区，加深对概念的理解1误把切点当极值点例1已知函数f(x)ax4bx2c的图象经过点(0,1)，且在x1处的切线方程是yx2，求f(x)的解析式错解f(x)4ax32
22、bx.将x1代入yx2中，得y1.由题意知，即解得a2，b4，c1.因此f(x)2x44x21.剖析本题错在将切点当做极值点，得到f(1)0的错误结论其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈正解f(1)表示函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线斜率，应有f(1)1，再联立f(0)1，f(1)1便可得到正确答案：a，b，c1，因此f(x)x4x21.2误把零点当极值点例2求函数f(x)x4x3的极值，并说明是极小值还是极大值错解f(x)4x33x2，令f(x)0，即当4x33x20，得x10，x2.所以f(0)0，f，又ff(0)，故极小值为，极大值为0.
23、剖析本题错在将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值正解f(x)4x33x2，令f(x)0，即4x33x20，得x10，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)不是极值点极小值由上表可知，函数f(x)在区间(，0)上是减函数，在区间上还是减函数，所以x0不是函数的极值点，而函数f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以函数f(x)在x处取得极小值，极小值为.3误把必要不充分条件当作充要条件
24、例3已知f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求实数a的取值范围错解f(x)3ax26x1.f(x)在R上是减函数，f(x)0，即3ax26x10在xR上恒成立，a0且3612a0，因此a3.剖析f(x)在R上是减函数是f(x)0的必要不充分条件，而不是充要条件，实际上f(x)在R上是减函数可能存在着f(x)0的情况，只要f(x)不恒为0即可，本题可采用先由f(x)0求解，然后验证f(x)0的特殊情况即可正解由f(x)0，即不等式3ax26x10在xR上恒成立，于是a0且3612a0，解得a3.当a3时，f(x)3x33x2x133，显然是R上的减函数，故a3符合题意点评上述三个例题虽然错误根源不同，但为了防止出错，我们应该正确理解有关概念，掌握概念之间的区别和联系，加强检验的意识