1、3.2导数的运算3.2.1常见函数的导数学习目标1.能根据定义求函数yC，ykxb，yx，yx2，y的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数知识点一幂函数与一次函数的导数思考1函数ykx(k0)增(减)的快慢与什么有关？答案当k0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k0，且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)f(x)x(为常数)f(x)x11(ex)ex.()2(ln x).()3.cos .()4若f(x)，则f(x).()类型一利用导数公式求函数的导数例1求下
2、列函数的导数：(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y2sin cos ；(5)y；(6)y3x.解(1)y(x12)12x12112x11.(2)y(x4)4x414x5.(3)y()() .(4)y2sin cos sin x，ycos x.(5)y().(6)y(3x)3xln 3.反思与感悟若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)；(2)f(x)2x；(3)f(x)e2；(4)f(x)cos x.解(1)f(x)()；(2)f(x)xln 2xln 2；(3)f(x)(
3、e2)0；(4)f(x)(cos x)sin x.类型二导数公式的综合应用命题角度1利用导数公式解决切线问题例2已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由解因为y(x2)2x，假设存在与直线PQ垂直的切线设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k1，而切线与PQ垂直，所以2x01，即x0.所以切点为.所以所求切线方程为y(1)，即4x4y10.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则在点xx0处的导数为2x0，又因为PQ的斜率为k1，而切线平行于P
4、Q，所以k2x01，即x0.所以切点为M.所以所求切线方程为yx，即4x4y10.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决跟踪训练2已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1cos x0，k2sin x0.要使两切线垂直，必须有k1k2cos x0(sin x0)1，即sin 2x02，这是不可能的所以两条曲线不存在公共
5、点，使在这一点处的两条切线互相垂直命题角度2利用导数公式求最值问题例3求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离解依题意知抛物线yx2与直线xy20平行的切线的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为，所求的最短距离d.反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算跟踪训练3已知直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平
6、行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使ABP的面积最大解设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k y2x0，k2x02，x01，y0 1.故可得M(1,1)，切线方程为2xy10.由于直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，AB为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故点M(1,1)即为所求弧上的点，使ABP的面积最大1设函数f(x)logax，f(1)1，则a_.答案解析f(x)，则f(1)1，a.2下列结论：(sin x)cos x；(log3x)；(ln x).其中正确的结论是_答案解析由求导公式知，(sin x)cos x，(log3x)，
7、(ln x)，故正确3在曲线y上求一点P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135，则点P的坐标为_答案(2,1)解析y(4x2)8x3，设点P(x0，y0)，依题意，得8xtan 1351，x02.又P(x0，y0)在曲线y上，y01.4设正弦函数ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围为_答案解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l.5求下列函数的导数(1)ycos ；(2)y；(3)y；(4)ylg x；(5)y5x；(6)ycos.解(1)y0.(2)yx5，y(x5)5x6.(3)y，y().(4)y.(5)y5xln 5.(6)ycossin x，y(sin x)cos x.1利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化