1、3.1.2瞬时变化率导数(一)学习目标1.了解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度知识点一曲线上一点处的切线思考如图，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x，f(x)时，割线PPn的变化趋势是什么？答案当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线梳理可以用逼近的方法来计算切线的斜率，设P(x，f(x)，Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率为kPQ.当x无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率知识点二瞬时速度与瞬时加速度思考瞬时速度和瞬时加速度和函数
2、的变化率有什么关系？答案瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率梳理(1)如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率(2)如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率1曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的两条割线()2过曲线上任一点可能作不出一条切线()3有的曲线过它上面的某一点可作两条切线()4平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物
3、体在某一时刻变化的快慢程度()类型一求曲线在某点处的切线斜率例1如图，已知曲线yx3上一点P，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程解(1)由yx3，得3x23xx(x)2，当x无限趋近于0时，无限趋近于x2.即点P处的切线的斜率为224.(2)在点P处的切线方程为y4(x2)，即12x3y160.反思与感悟解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当x无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率跟踪训练1利用割线逼近切线的方法分别求曲线y2x2在x0，x1，x2处的切线斜率解设P(x0，f(x0)，Q(x0x，
4、f(x0x)，则割线PQ的斜率kPQ4x02x.当x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线yf(x)在x0，x1，x2处的切线斜率分别为0，4，8.类型二求瞬时速度、瞬时加速度例2已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v3t22(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t2，t0.01时，求；(2)求质点M在t2 s时的瞬时加速度解6t3t.(1)当t2，t0.01时，6230.0112.03 cm/s2.(2)当t无限趋近于0时，6t3t无限趋近于6t，则质点M在t2 s时的瞬时加速度为12 cm/s2.反思与感悟(1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”
5、，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别(2)求瞬时加速度：求平均加速度；令t0，求出瞬时加速度跟踪训练2质点M按规律S(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解SS(2t)S(2)a(2t)21a2214ata(t)2，4aat.当t无限趋近于0时，4aat无限趋近于4a.在t2 s时，瞬时速度为8 m/s，4a8，a2.1已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为_答案8解析82x.当x无限趋近于0时，82x无限趋近于8，曲线f(x)在点A处的切线斜率为8.2任
6、一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S3tt2，则物体的初速度是_答案3解析3t，当t无限趋近于0时，无限趋近于3.3已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)t22t2，则在时间段1,1t内的平均加速度是_，在t1时的瞬时加速度是_答案4t4解析在1,1t内的平均加速度为t4.当t无限趋近于0时，无限趋近于4，故在时间段1,1t内的平均加速度为4t，在t1时的瞬时加速度是4.4已知曲线y2x24x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为_答案(3,30)解析设点P(x0，2x4x0)4x042x，当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，令4x0416，得x03，P(3,30)5已知函数yf(x)在xx0处的导数为11，则当x趋近于零时，无限趋近于常数_答案11解析因为，所以无限趋近于常数11.1曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率2瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度