1、3.1.2瞬时变化率导数(二)学习目标1.理解函数的瞬时变化率导数的准确定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义知识点一函数的导数思考函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答案函数f(x)在点x0附近的平均变化率为，当x0时，A，A就是f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)梳理设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，并称常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)知识点二导数的几何意义思考导数f(x0)有什么几何意义？答案f(x0)的几何意义是曲线y
2、f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率知识点三导数与导函数的关系思考导函数f(x)和f(x)在一点处的导数f(x0)有何关系？答案函数f(x)在一点处的导数f(x0)是f(x)的导函数f(x)在xx0的函数值f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值梳理(1)导函数的定义若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)在不引起混淆时，导函数f(x)也简称为f(x)的导数(2)f(x0)的意义f(x)在点xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x
3、x0处的函数值1函数f(x)在区间(a，b)内可导就是f(x)对于任意x0(a，b)都有f(x0)存在()2f(x0)表示函数f(x)在xx0处的导数，是对一个点x0而言的，它是一个确定的值()3f(x)表示函数f(x)的导函数，简称导数，是对f(x)的定义域或指定的区间(a，b)而言的()4f(x)在其定义域内的每一点x0都一定有f(x0)存在()类型一求函数的导函数命题角度1求函数在某点处的导数例1求函数y在x1处的导数解y1，.当x0时，y在x1处的导数为.反思与感悟根据导数的定义，求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3
4、)得导数，当x0时，f(x0)关键是在求时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用跟踪训练1利用定义求函数yx在x1处的导数解y(xx)x，1，从而，当x0时，11，函数f(x)在x1处的导数为0.命题角度2求函数的导函数例2求函数yx23x的导函数解32xx，当x0时，32xx32x，故函数f(x)的导函数为f(x)32x.反思与感悟利用导数的定义求函数的导函数是求函数的导函数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值跟踪训练2求函数f(x)x的导函数解y(xx)x，1，当x0时，11，函数f(x)的导函数为f(x)
5、1.类型二导数几何意义的应用例3(1)求曲线yf(x)x32x1在点P(1,2)处的切线方程；(2)求曲线y2x27过点P(3,9)的切线方程解(1)易证得点P(1,2)在曲线上，由yx32x1，得y(xx)32(xx)1x32x1(3x22)x3x(x)2(x)3，3x223xx(x)2.当x0时，3x223xx(x)23x22，即f(x)3x22，所以f(1)5.故点P处的切线斜率为k5.所以点P处的切线方程为y25(x1)，即5xy30.(2)由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y0
6、2x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.反思与感悟(1)利用导数的几何意义求曲线在点xx0处的切线方程的步骤：求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)根据直线的点斜式方程，得切线为yy0f(x0)(xx0)(其中y0f(x0)(2)利用导数的几何意义求过点P(m，n)所作的曲线yf(x)的切线方程的步骤：设切点坐标为Q(x0，y0)，求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)根据直线的点斜式方程写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)将点P(m，n)代入切线方程并整理成关于x0
7、的方程，解此方程求得x0的值由x0的值，求出y0f(x0)及斜率kf(x0)，进而写出切线方程跟踪训练3求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程解设切点为(x0，xx01)，2x01x.当x0时，2x01x2x01，切线的斜率为2x01，则k，2x01.解得x00或x02.当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10；当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30.故所求切线方程为xy10或3xy30.1已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是_答案f(xA)f(xB)解析由导数的几何意义知，f(xA)，
8、f(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB)2已知f(x)x23x，则f(x)_.答案2x3解析x2x3，当x0时，2x3，即f(x)2x3.3已知yax2b在点(1,3)处的切线斜率为2，则_.答案2解析由题意得ax2a，当x0时，2a2，a1，又3a12b，b2，2.4若曲线y2x24xP与直线y1相切，则P_.答案3解析设切点坐标为(x0，1)，由题意得4x02x4.当x0时，0，即4x040.x01.即切点坐标为(1,1)24P1，即P3.5设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a_.答案1解析2aax，当x0时，2a.令2a2，得a1.1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点