1、2.2.2椭圆的几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距F1F22c(c)F1F22c(c)范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)轴长轴长2a，短轴长2b知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？答案如图所示，在R
2、tBF2O中，cosBF2O，记e，则0eb0)的短轴长等于b.()类型一由椭圆方程研究其几何性质例1求椭圆y21的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并利用对称性画出这个椭圆解由方程知a4，b1，所以长轴长2a8，短轴长2b2，c.离心率e，焦点坐标为(，0)，(，0)顶点坐标为(4,0)，(0，1)画图：先作出直线x4，y1围成的矩形框，然后在第一象限描点，.画出第一象限部分的图象，最后利用对称性作出二、三、四象限的图象反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪训练1求椭圆9x
3、216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解将椭圆方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c.椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e.又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是F1(，0)和F2(，0)，四个顶点坐标分别是A1(4,0)，A2(4,0)，B1(0，3)和B2(0,3)类型二求椭圆的离心率命题角度1与焦点三角形有关的求离心率问题例2椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_答案1解析方法一如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N.NF2c，NF1c，则由椭圆的定义可知，N
4、F1NF22a，cc2a，e1.方法二注意到在焦点三角形NF1F2中 ，NF1F230，NF2F160，F1NF290.则由离心率的公式和正弦定理，得e1.反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e求解跟踪训练2设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为_答案解析如图，设直线x交x轴于D点因为F2PF1是底角为30的等腰三角形，则有F1F2F2P.因为PF1F230，所以PF2D60，DPF230.所以DF2F2PF1F2，即c2c2c，即，所以椭圆的离心率为e.命题角度2构建a，c的齐次式
5、，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3(1)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2 作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率为_答案解析直线AB：xc，代入1，得y，A，B.直线BF1：y0(xc)，令x0，则y，D.kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)若椭圆1(ab0)上存在一点M，使得F1MF290(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为_答案解析椭圆方程为1(ab0)，byb.由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公
6、共点，则cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0eb0)，由椭圆的对称性知，B1FB2F.又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形，OB2OF，即bc.又FA，即ac，且a2b2c2，将上面三式联立，得解得所求椭圆方程为1.反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论跟踪训练4根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆
7、方程为1(ab0)由题意得解得椭圆方程为1.同理可得当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求椭圆方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求椭圆方程为1.1椭圆1的上顶点与右顶点之间的距离为_答案解析上顶点坐标为(0,5)，右顶点坐标为(4,0)，故它们的距离为.2若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为_答案1或1解析由题意可知a2b，c1，所以1b24b2，故b2，a2，则此椭圆的标准方程为1或1.3已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c
8、，故焦点坐标为(0，)4已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围为_答案42，42解析因为点(m，n)在椭圆8x23y224上，即在椭圆1上，所以点(m，n)满足椭圆的取值范围|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，425过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为_答案解析PF1PF22a，又F1PF260，PF1PF2，PF22aPF2a，PF1a.在RtPF1F2中，PFF1FPF，2(2c)22，解得e.1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用