1、2.2椭圆22.1椭圆的标准方程学习目标1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆知识点一椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间的距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距a，b，c始终满足关系式a2b2c2.梳理椭圆的标准方
2、程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)与(c,0)(0，c)与(0，c)a，b，c的关系c2a2b21到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()2椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关()3椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.()类型一椭圆的标准方程命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；(2)经过点(3，)，且与椭圆1有共同的焦点解(1)方法一当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)点A(0,2)，B在椭圆上，解得这与
3、ab相矛盾，故应舍去当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)点A(0,2)，B在椭圆上，解得椭圆的标准方程为x21.综上可知，椭圆的标准方程为x21.方法二设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn)点A(0,2)，B在椭圆上，故椭圆的标准方程为x21.(2)方法一椭圆1的焦点为(4,0)和(4,0)，由椭圆的定义，可得2a，2a12，即a6.c4，b2a2c2624220，椭圆的标准方程为1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为1(9)，将x3，y代入上面的椭圆方程，得1，解得11或21(舍去)，椭圆的标准方程为1.反思与感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法即根据椭圆的定义，判
4、断出轨迹是椭圆，然后写出其方程(2)待定系数法先确定焦点位置；设出方程；寻求a，b，c的等量关系；求a，b的值，代入所设方程特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(2，1)，Q(，2)解(1)椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知，2a2，即a.又c2，b2a2c26.所求椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的
5、焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所求椭圆的标准方程为x21.(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，代入得所求椭圆的标准方程为1.命题角度2由标准方程求参数(或其取值范围)例2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围为_答案(0,1)解析方程1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为1，解得0m1.反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式(2)1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是跟踪训练2(1)已知方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则
6、实数k的取值范围为_答案(7,10)解析将方程化成椭圆的标准形式为1.根据其表示焦点在x轴上的椭圆，得解得7kPF2，求的值解当PF2F190时，由得PF1，PF2，.当F1PF290时，同理求得PF14，PF22，2.综上，或2.1在椭圆的标准方程中，a6，b，则椭圆的标准方程是_答案1或12已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_答案1解析依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为F(2,0)，从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1.3已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的
7、值为_答案2解析由题意得椭圆标准方程为x21.又其一个焦点坐标为(0,1)，故11，解得k2.4“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件答案充要解析方程可化为1.若mn0，则00，可得mn0.5设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2的面积为_答案6解析由椭圆定义知PF1PF22a8，不妨设PF1PF2.PF1PF22，PF15，PF23，又F1F22c4，PF1F2为直角三角形，则436.1对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解2用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2By21(A0，B0，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的