1、2.4.2抛物线的几何性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的几何性质思考1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y22px(p0)的范围、对称性、顶点坐标吗？答案范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)思考2抛物线标准方程y22px(p0)中的参数p对抛物线开口大小有何影响？答案p越大，开口越大梳理标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1知识点二焦点弦设过抛
2、物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y22px(p0)ABx1x2py22px(p0)ABp(x1x2)x22py(p0)ABy1y2px22py(p0)ABp(y1y2)知识点三抛物线中的弦长与中点弦问题1相交弦长弦长公式：d|x1x2| |y1y2|.2已知AB是抛物线y22px(p0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有由得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)kAB，y1y22y0，由得kAB，即弦AB的斜率只与p和弦AB中点的纵坐标有关1抛物线y2px2(p0)的对称轴为y轴(
3、)2抛物线关于顶点对称()3抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()4抛物线的标准方程各不相同，其离心率也各不相同()类型一由抛物线的几何性质求标准方程例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解由题意设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点坐标为F.直线l：x，所以A，B两点的坐标为，所以AB2|m|.因为OAB的面积为4，所以2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是_答案4p
4、2解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)所以AB4p，所以SAOB4p2p4p2.反思与感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上
5、一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程解设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0)因为点P到对称轴距离为6，所以y06.因为点P到准线距离为10，所以10.因为点P在抛物线上，所以362ax0，由，得或或或所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.类型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求AB的值；(2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率为ktan 60.又F，所以直线l的方程为y. 联立消去y，得x25x0.设A(x1，y1)，B
6、(x2，y2)，则x1x25.而ABAFBFx1x2x1x2p，所以AB538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由抛物线定义知，ABAFBFx1x2x1x2px1x23，所以x1x26，所以线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x，所以M到准线的距离为3.反思与感悟(1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点.若抛物线y22px(p0)，则PFx0；若抛物线y22px(p0)，则PFx0；若抛物线x22py(p0)，则PFy0；若抛物线x22py(p0)，则PFy0(2)过焦点的弦长的求解方
7、法设过抛物线y22px(p0)焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABx1x2p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1x2即可跟踪训练2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且ABp，求AB所在直线的方程解如图所示，抛物线y22px(p0)的准线方程为x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义知，AFdAx1，BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.当x1x2时，AB2p0.设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y
8、2.P1P2的中点为(4,1)，2，k3，适合式所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，P1P2.方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则y6x1，y6x2，yy6(x1x2)又y1y22，3，所求直线的斜率为k3，所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，P1P2.类型四抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面的部分为 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点
9、，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面的部分为 m，所以h|yA|2(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练4如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0
10、.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O)解设所求抛物线的方程为yax2.设D(5，b)，则B(10，b3)把D，B的坐标分别代入yax2，得解得yx2.b1，拱桥顶O到CD的距离为1，t5(小时)即再持续5小时到达拱桥顶1抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(5，2)到焦点的距离是6，则抛物线方程为_答案y24x解析由题意得56，p2.又抛物线开口方向为x轴负方向，抛物线方程为y24x.2顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是_答案x216y解析顶点在坐标原点，对称轴为y轴的抛物线的标准方程有两个：x22py(
11、p0)，x22py(p0)由顶点到准线的距离为4，得p8，故所求抛物线的标准方程为x216y或x216y.3抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_答案解析设所求点为(x0，y0)，则xy2.又yx0，x0，y0.4过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB_.答案8解析易知抛物线的准线方程为x1，则线段AB的中点到准线的距离为3(1)4.由抛物线的定义易得AB8.5若抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，且AB4，求抛物线的焦点到直线AB的距离解由抛物线的对称性，可设A(x0，2)，B(x0，2)A，B两点在抛物线上，(2)24x0，即x02.又y24x的焦点坐标为(1,0)，焦点到直线AB的距离为1.1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用