1、2.5圆锥曲线的共同性质学习目标1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念知识点圆锥曲线的共同性质思考圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？答案如图，过点M作MHl，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知MM|FMeMH取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系设点M的坐标为(x，y)，则OM.设直线l的方程为xp，则MH|xp|.把，代入OMeMH，得e|xp|.两边平方，化简得(1e2)x2y22pe2xp2e20.这就是圆锥曲线(椭圆、双
2、曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质梳理(1)圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比等于常数e.当0e1时，它表示双曲线；当e1时，它表示抛物线其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线(2)椭圆1(ab0)的准线方程为x，1(ab0)的准线方程为y.双曲线1(a0，b0)的准线方程为x，双曲线1(a0，b0)的准线方程为y.1若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线()2双曲线x2y21的准线方程为x.()3.1上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是8.(
3、)4点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l：x的距离的比是常数，则点M的轨迹为1.()类型一已知准线求圆锥曲线的方程例1双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A(2，3)，求双曲线的方程解(1)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由已知得a22c，b2c2a2c22c.代入1，整理得c214c330，c3或c11.a26，b23或a222，b299.双曲线的方程为1或1.(2)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)由已知得1.将a22c，b2c22c代入1得，2c213c660，0，b0)，因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，由此可得a1.由，得c2.所以b2c2a23，于是双曲线的方程为x21，其渐近线方程为xy0. 1在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性2在已知准线方程时，一般转化为的数量关系，结合其他条件求出基本量a，b，c.若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型3根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程