1、1.3全称量词与存在量词13.1量词学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题与存在性命题的真假，并掌握其判定方法知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：每一个三角形都有内切圆；所有实数都有算术平方根；对一切有理数x,5x2还是有理数以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假答案命题分别使用量词“每一个”“所有”“一切”命题是真命题，命题是假命题三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题为假命题梳理(1)全称量词“所有”
2、、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”符号全称命题p含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“xM，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“xM，p(x)不成立”知识点二存在量词与存在性命题思考观察下列命题：有些矩形是正方形；存在实数x，使x5；至少有一个实数x，使x22x20.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假答案命题分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一
3、个”命题是真命题，命题是假命题三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可所以命题是真命题，而对任意实数x，x22x2都大于0，所以命题为假命题梳理(1)存在量词“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”符号存在性命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题1“某些”“有个”“有的”等短语不是存在量词()2全称
4、命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词()3全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”()类型一判断命题的类型例1将下列命题用“”或“”表示(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax22x10(a1)至少存在一个负根；(3)若直线l垂直于平面内任一直线，则l.解(1)xR，x20.(2)x0，ax22x10(a1)(3)若a，la，则l.反思与感悟判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤(1)判断此语句是否为命题(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断跟踪训练1(1)给出下列几个命题：至少
5、有一个x，使x22x10成立；对任意的x，都有x22x10成立；对任意的x，都有x22x10不成立；存在x，使x22x10成立其中是全称命题的有_答案解析因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以为存在性命题，为全称命题(2)(2018盐城高二检测)下列命题：有一个实数不能做除数；棱柱是多面体；所有方程都有实数解；有些三角形是锐角三角形其中是存在性命题的是_答案解析含有存在量词“有一个”“有些”，所以是存在性命题含有全称命题“所有”或省略全称量词，是全称命题类型二判断命题的真假例2判断下列命题的真假(1)xR，x2x1；(2)，cos()cos cos ；(3)存在一个函
6、数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数x，使等式x2x80成立解(1)真命题，x2x1x2x20，x2x1恒成立(2)真命题，例如，符合题意(3)真命题，函数f(x)0，当定义域关于原点对称时，既是偶函数又是奇函数(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数(5)假命题，因为该方程的判别式310，故无实数解反思与感悟(1)要判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题(2)要判定存在性命题“xM，p(x)”是
7、真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题跟踪训练2判断下列命题的真假(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)xR,2x2x10，不存在xR，使2x2x10.故该命题是假命题(3)该命题是全称命题sin xcos xsin恒成立，对任意实数x，sin xcos x都成立，故该命题是真命题类型三全称命题、存在性命题的应用例3(1)若命题p：存在xR，使ax22xa0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m1)x2(m1)x3(m1)0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围解(1)由ax22xa0，得a(x21
8、)2x，当x0时，a0，a0时，x2，10，当x0时，x2，01，的最大值为1.又xR，使ax22xa0成立，只要a1，a的取值范围是(，1)(2)当m10即m1时，2x60不恒成立当m10时，由得即综上，mf(x)(或af(x)max(或af(x)(或af(x)min(或a0对于任意xR恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值范围解(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x)0可化为
9、mf(x)，若存在一个实数x，使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求实数m的取值范围是(4，)1下列命题中，既是真命题又是全称命题的是_(填序号)对任意的a，bR，都有a2b22a2b20；菱形的两条对角线相等；x，x；对数函数在定义域上是单调函数答案2下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是_(填序号)存在一个，使tan(90)tan ；存在实数x，使sin x；对一切，sin(180)sin ；对任意，sin()sin cos cos sin .答案3“集合M不是集合P的子集”的意思是“集合M中有不属于集合P的元素”，这句话中使用了_量词答案存在4用量词符号表示命题“任意一个实数的绝对值都是非负数”为_答案xR，|x|05已知关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，求实数a的取值范围解关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a，实数a的取值范围为.1.2判定命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是含有全称量词还是含有存在量词另外，需要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断