1、3.4.2函数模型及其应用基础过关1.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的，若剩留的物质是原来的，则经过的年数为()A.3年 B.4年 C.5年 D.6年解析先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y1，经过2年，y()2，那么经过x年，则y()x.依题意得()x，解得x3.答案A2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A.96元 B.108元 C.110元 D.116元解析设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108.答案B3.在
2、国内投寄平信，每封信重不超过20 g付邮资80分，超过20 g而不超过40 g付邮资160分，将每封信的应付邮资f(x)(分)表示为信重x g(0x40)的函数，其表达式为f(x)_.答案4.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_.解析因为组装第A件产品用15分钟，所以15，所以必有4A，且30，联立解得c60，A16.答案60，165.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆).若
3、该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_.解析依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15x)辆，所以总利润S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30(x0)，所以当x10时，Smax45.6(万元).答案45.6万元6.渔场中鱼群的最大养殖量为m(m0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x应小于m，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k0).(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值.解(1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系
4、式是ykx，其定义域为x|0xm.(2)由(1)知，ykxx2kx，0xm.则当x时，ymax.所以鱼群年增长量的最大值为.7.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系？(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(
5、x)x(x0)，g(x)(x0).(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20x)万元.依题意得yf(x)g(20x)(0x20).令t(0t2)，则yt(t2)23，所以当t2，即x16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益ymax3万元.能力提升8.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数Vf(h)的图象大致是()解析水深h越大，水的体积V就越大，故函数Vf(h)是个增函数，一开始增长的慢，然后增长的快，后来又增长的慢，故选D.答案D9.已知某工厂生产某种产品的月产
6、量y与月份x满足关系ya(0.5)xb.现已知该厂2019年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则该厂3月份该产品的产量为()A.2.10万件 B.1.95万件C.1.80万件 D.1.75万件解析由题意得解得y20.5x2.当x3时，y20.5321.75.答案D10.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v2 000ln(1).当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.解析当v12 000时，2 000ln(1)12 000，ln(1)6，e61.答案e6111.某人定做了一批地砖，每块地
7、砖(如图1所示)是边长为40 cm的正方形ABCD，点E，F分别在边BC和CD上，CFE，ABE和四边形AEFD分别由单一材料制成，且制成CFE，ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方厘米价格依次为3元，2元，1元.若将此种地砖按图2所示的方式铺设，能使中间的深色阴影部分构成四边形EFGH，则当CE_ cm时，定做这批地砖所需的材料费用最少.解析设CEx cm，则FCx cm，BE(40x) cm(0x40)，设CFE，ABE和四边形AEFD的面积分别为S1 cm2，S2 cm2，S3 cm2，地砖的总费用为y元，则y3S12S2S3x240240x402x2204020xx220x2 40
8、0，二次函数图象开口向上，其对称轴为x10，所以当x10，即CE10 cm时，费用最少.答案1012.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨.(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y1.8(5x3x)14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x4，且5x4时，y41.83x1.83(5x4)20.
9、4x4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段区间上均为增函数，当x0，时，yf()11.5226.4；当x(，时，yf()22.426.4；当x(，)时，令24x9.626.4，解得x1.5.所以甲户用水量为5x51.57.5(吨)；付费S141.83.5317.70(元)；乙户用水量为3x4.5(吨)，付费S241.80.538.70(元).创新突破13.今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为
10、此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为PP0ekt (P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t0时的污染物数量.若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.21.61，ln 0.31.20，ln 0.40.92，ln 0.50.69，ln 0.90.11).解(1)由已知，当t0时，PP0；当t5时，P90%P0.于是有90%P0P0e5k.解得kln 0.90.022.(2)由(1)得，PP0e(ln 0.9)t.当P40%P0时，有0.4P0P0e(ln 0.9)t.解得t41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时.