1、3.4函数的应用3.4.1函数与方程第1课时函数的零点基础过关1.已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则零点所在区间为()A.(3，4) B.(2，3) C.(1，2) D.(0，1)解析f(0)10，f(1)10，f(3)230，f(4)590.f(1)f(2)0，此零点一定在(1，2)内.答案C2.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是()A.(1，0) B.1 C. D.，1解析函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，即g(x)6x25x1，yg(x)的零点为1和.答案D3.设函数f(x)则函数yf(x)的零点是_.解析当f(x)2x20时，
2、x1，11，)，x1是函数yf(x)的一个零点.当f(x)x22x0时，x10，x22，x(，1)，x22应舍去.x0也是函数yf(x)的一个零点.答案0，14.函数f(x)|log2(x1)|1的零点是_.解析由f(x)|log2(x1)|10得log2(x1)1，故x1或x.答案1，5.已知函数f(x)x|x|3|x|2，则yf(x)的零点的个数为_.解析f(x)当x0时，由根与系数的关系知，方程x23x20有2个正根，此时yf(x)有2个零点；当x0时，方程x23x20，即x23x20，由根与系数的关系知，此方程有2个异号的实根，而其中的正根不符合题意，故当x0时，yf(x)有1个零点.
3、综上所述yf(x)共有3个零点.答案36.关于x的方程mx22(m3)x2m140有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围.解令f(x)mx22(m3)x2m14，依题意得或即或解得m0.所以实数m的取值范围是(，0).7.关于x的方程x22xm10，根据下列条件分别求m的取值范围.(1)有两个负根；(2)有两个实根，且都比1大.解(1)设方程的两个根为x1，x2，则有两个负根的条件是解得1m0.即实数m的取值范围是(1，0.(2)由题意知，无解，故解集为空集，即满足条件的实数m不存在.能力提升8.设x0是方程ln xx4的解，且x0(k，k1)，kZ，则k()A.1 B.2
4、 C.3 D.4解析令f(x)ln xx4，且yf(x)在(0，)上为增函数，f(2)ln 2240，f(3)ln 310，f(x)在(2，3)内有解，k2.答案B9.已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(，) B.(，1)C.(，) D.0，1)解析画出函数yf(x)的图象如图所示.要使函数g(x)f(x)k有两个不同零点，只需yf(x)与yk的图象有两个不同交点，由图易知k(，1).答案B10.函数f(x)x22xa在区间(2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是_.解析函数f(x)x22xa在区间(2，0)和(2，3)内各
5、有一个零点，由二次函数图象的性质，知即解得3a0.答案(3，0)11.若函数f(x)x22a|x|4a23的零点有且只有一个，则实数a_.解析易知函数f(x)x22a|x|4a23是偶函数，所以要使其零点只有一个，则这个零点只能是0，由f(0)0得a.当a时，f(x)x2|x|，它只有一个零点x0，符合题意；当a时，f(x)x2|x|，它有3个零点x0，不符合题意.综上，a.答案12.若函数f(x)ax2x1的负零点有且仅有一个，求实数a的取值范围.解当a0时，f(x)x1，令f(x)0，得x1，符合题意；当a0时，此函数图象开口向上，x0，又f(0)10，结合二次函数图象知符合题意；当a0时
6、，此函数图象开口向下，x0，又f(0)10，从而有14a0，即a.综上可知，实数a的取值范围为0，).创新突破13.已知二次函数yf(x)满足：f(0)3，f(x1)f(x)2x.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)令g(x)f(|x|)m(mR)，若函数yg(x)有4个零点，求实数m的取值范围.解(1)设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)3，c3，f(x)ax2bx3.f(x1)a(x1)2b(x1)3ax2(2ab)x(ab3)，f(x)2xax2(b2)x3，f(x1)f(x)2x，解得a1，b1，f(x)x2x3.(2)由(1)得g(x)x2|x|3m，在平面直角坐标系中，画出函数yg(x)的图象，如图所示，由于函数yg(x)有4个零点，则函数yg(x)的图象与x轴有4个交点.由图象得解得3m，即实数m的取值范围是.