1、2.2.2函数的奇偶性基础过关1.函数f(x)x的图象关于()A.y轴对称 B.直线yx对称C.坐标原点对称 D.直线yx对称解析f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称，又f(x)xf(x)，f(x)x是奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故选C.答案C2.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数解析f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函
2、数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.答案C3.已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是_.解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.答案04.若函数f(x)为奇函数，则a_.解析函数yf(x)的定义域为x|x，且xa.又yf(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，a.答案5.已知函数yf(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)xx2，则f(2)_.解析因为当
3、x0时，f(x)xx2，所以f(2)2222.又yf(x)是奇函数，所以f(2)f(2)2.答案26.函数yf(x)是R上的偶函数，且当x0时，函数的解析式为f(x)1.(1)用定义证明yf(x)在(0，)上是减函数；(2)求当x0时，函数yf(x)的解析式.(1)证明设0x1x2，则f(x1)f(x2)，0x1x2，x1x20，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，yf(x)在(0，)上是减函数.(2)解设x0，则x0，f(x)1，又yf(x)为偶函数，f(x)f(x)1，即f(x)1(x0).7.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x1，求yf
4、(x)的解析式.解yf(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x).当x0时，x0，f(x)f(x)(x)23(x)1x23x1.又奇函数yf(x)在原点有意义，f(0)0.f(x)能力提升8.已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A. B. C. D.解析依题意得：f(x)f(x)，b0，又a12a，a，ab.故选B.答案B9.已知函数f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a，b，c，d为常数，若f(7)7，则f(7)等于()A.2 B.12 C.12 D.17解析设g(x)f(x)5，则g(x)为奇函数，g(7)g(7)，所以f(7)5f(7)5，所以f(7
5、)17.答案D10.已知偶函数f(x)在0，)上是单调减函数，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_.解析f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)，又yf(x)是偶函数，且在0，)上单调减，f(|x1|)f(2)，|x1|2，2x12，1x0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m).又yf(x)在0，2上为减函数，yf(x)在2，2上为减函数，即解得1m.因此实数m的取值范围是.创新突破13.设函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：yf(x)是奇函数；(2)求yf(x)在3，3上的最大值与最小值.(1)证明令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.又令yx，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，yf(x)是奇函数.(2)解设x1，x2R，且x1x2，则x2x10，于是f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，yf(x)在R上是减函数，yf(x)的最大值为f(3)f(3)3f(1)(3)(2)6，最小值为f(3)f(3)6.