1、第2课时二次函数、二次方程及简单的一元二次不等式学习目标理解和掌握二次函数的图象和性质，理解和掌握一元二次方程的相关知识并能熟练解出一元二次方程，借助于二次函数的图象会解简单一元二次不等式.知识点一一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2bxc0(a0)，用配方法将其变形为2.(1)当b24ac0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根：x1,2；(2)当b24ac0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：x1,2；(3)当b24ac0)的情况：1.x的取值范围为一切实数.2.y的取值范围为当x时，y取得最小值.3.二次函数的三种表达方式：4.对称轴x(图象关于x对称).5.(1)
2、当x1y2.(2)当x2x1时，则y1000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有相异两实根x1,2(x10的解xx2或xx1xR且xxRax2bxc0的解x1x0的范围为xx2或x0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去.综上，m1.反思感悟(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大于21”求出m的值，取满足条件的m的值即可.(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由根与系数的关系解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或等于零.因为，根与系数的关系成立的前提是一元二次方
3、程有实数根.跟踪训练1若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根，(1)求|x1x2|的值；(2)求的值；(3)xx.解x1和x2是一元二次方程2x25x30的两根，x1x2，x1x2.(1)|x1x2|2xx2x1x2(x1x2)24x1x2246，|x1x2|.(2).(3)xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2)(x1x2)23x1x2.突破二二次函数的图象与性质例2已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.解(1)当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2,4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x
4、2；(2)当2a0时，由图可知，当x2时，函数取最大值4；当xa时，函数取最小值a2；(3)当0a0时x的取值范围.解y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1,4)；当x1时，函数取最大值y4，无最小值；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1,4)，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0,1)，过这四点画出图象(如图所示).由图象可知，y0时x的取值范围为x0的解.解因为(4)24410，所以方程4x24x10的解是x1x2，所以原不等式的解为x.反思感悟(1)在求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的
5、根的情况以及二次函数的图象.(2)当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式.跟踪训练3求不等式3x26x2的解.解不等式可化为3x26x20，x11，x21，不等式3x26x2的解为1x1.1.不等式9x26x10的解为()A.全体实数 B.无解C.x D.x答案D解析原不等式可化为(3x1)20，所以3x10，所以x，故选D.2.不等式4x24x15的解为()A.x B.x或x或x0，即(2x5)(2x3)0，解得x或x0的解为x，则ab_.答案7解析依题意，是方程ax2bx10的两根且a0的解是()A.x1 B.x1C.x1或x2 D.x或x1答案D解析2x2x1(2x1)(x
6、1)，由2x2x10得(2x1)(x1)0，解得x1或x.5.关于二次函数y2x21，下列说法中正确的是()A.它的开口方向是向上B.当x1时，y随x的增大而增大C.它的顶点坐标是(2,1)D.当x0时，y有最大值是2答案B解析二次函数y2x21，a2，该函数图象开口向下，故选项A错误，当x0时，y随x的增大而增大，故选项B正确，它的顶点坐标为(0,1)，故选项C错误，当x0时，y有最大值1，故选项D错误，故选B.6.若二次函数yx2mx的对称轴是x3，则关于x的方程x2mx7的解是()A.x10，x26 B.x11，x27C.x11，x27 D.x11，x27答案D解析二次函数yx2mx的对
7、称轴是x3，3，解得m6，关于x的方程x2mx7可化为x26x70，即(x1)(x7)0，解得x11，x27.故选D.7.yax2ax1对于任意实数x都满足y0，则a的取值范围是()A.a0 B.a4C.4a0 D.4a0答案D解析当a0时，y10成立.当a0时，则即解得4a0，综上可知4a0时，对任意实数x都有y0.二、填空题8.已知关于x的不等式x2axb0的解为1x0的解为_.答案x1解析x2axb0的解为1x0.由2x23x10，得(2x1)(x1)0，得x1.9.函数yx21，当1x2时，函数y的最小值是_.答案3解析yx21的图象开口向下，且对称轴为x0.当x10，当x0时，y随x
8、的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大，当x1时，y110；当x2时，y413，函数y的最小值为3.10.不等式x25x60的解为_.答案 2x3解析 x25x60，(x2)(x3)0.2x3.11.x1，x2是方程x22x30的两个根，则代数式x3x1x2_.答案1解析x1，x2是方程x22x30的两个根，x2x130，即x2x13，x1x22，则x3x1x2x2x1x1x2321.三、解答题12.画出函数y2x24x6的草图.解y2x24x62(x22x)62(x22x11)62(x1)2162(x1)28.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x1.令y0得2x24x
9、60，即x22x30，x1或x3，故函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0).画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，8)，(1,0)，(3,0)，画出直线x1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，8)，(1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x1对称，即得函数y2x24x6的草图，如图所示.13.已知关于x的一元二次方程x22(k1)xk210有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1x2|2x1x2，求k的值.解(1)2(k1)24(k21)4k28k44k248k8.原方程有两个不相等的实数根，8k
10、80，解得k1，即实数k的取值范围是 k1.(2)由根与系数的关系，x1x22(k1)，x1x2k21，|x1x2|2x1x2，|2(k1)|2k22，k1，22k2k22，化简得k2k20，k1(舍)或k2，k2.14.将抛物线y(x1)21向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为()A.y(x2)21 B.yx21C.y(x1)21 D.y(x1)2答案B解析将抛物线y(x1)21向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为y(x11)21x21，即yx21.故选B.15.解关于x的不等式x2ax2a20.解原不等式变形为(x2a)(xa)0，则ax2a，此时不等式的解为ax2a；(2)若a0，则2axa，此时不等式的解为2axa；(3)若a0，则原不等式即为x20，此时无解.