1、章末检测(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中的横线上)1.在ABC中，已知a，b1，A60， 那么B_.解析根据正弦定理，得sin B.因为ba，所以BA60，所以B30.答案302.在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C，sin A.则sin B_.解析因为C，sin A，所以cos A.由已知得BA，所以sin Bsinsin cos Acos sin A.答案3.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A，cos C，a1，则b_.解析在ABC中，由cos A，cos C，可得sin
2、 A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.答案4.在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状是_.解析由已知结合正、余弦定理得2，整理得a2b2，所以ab，所以ABC一定是等腰三角形.答案等腰三角形5.在ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于_.解析由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin ，又B(0，)，所以B，所以AB，所以ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.答案6.在ABC中，已知a，b，c 分别
3、为ABC内角A，B，C的对边.若ba，且sin Bcos B0，则A_.解析因为sin Bcos B0，所以tan B1，因为B(0，)，所以B.因为，所以sin A.因为B，且ABC，知A，所以A.答案7.在ABC中，若b2，A120，ABC的面积S，则三角形外接圆的半径为_.解析在ABC中，因为b2，A120，三角形的面积Sbcsin Ac，所以c2.因为cb2，所以B(180A)30.由正弦定理2R4，知三角形外接圆的半径R2.答案28.设满足A45，c，a2的ABC的个数为m，则am_.解析由正弦定理，得sin C.因为ca，所以CA45，所以C60或120，所以满足条件的三角形有2个
4、，即m2，所以am4.答案49.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2bac，B30，ABC的面积为，则b等于_.解析acsin B，ac6.由余弦定理，得b2a2c22accos 30(ac)2ac2ac4b2(2)6，b242，b1.答案110.已知锐角ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b_.解析化简23cos2Acos 2A0，得23cos2A2cos2A10，又角A为锐角，解得cos A，由a2b2c22bccos A，得b5.答案511.在ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若ABC的周长等于20
5、，面积是10，A60，则a_.解析依题意及面积公式Sbcsin A，得10bcsin 60，得bc40.又由周长为20，知abc20，bc20a，由余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c22bccos 60b2c2bc(bc)23bc，故a2(20a)2120，解得a7.答案712.在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为_.解析由正弦定理，得，即(cos A3cos C)sin B(3sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)3sin(BC)，又因为ABC，所以sin C3sin A，所以3.答案313.在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则c
6、os A_.解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cos A.答案14.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若cos B，a10，ABC的面积为42，则b的值等于_.解析依题意可得sin B.由SABCacsin B42，知c14，故b6，所以bb16.答案16二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)cos的值.解(1)由cos B，得sin B.又C，AC6，由正弦定理，
7、得，即AB5.(2)由(1)得：sin B，cos B，sin Ccos C，则sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Acos(BC)(cos Bcos Csin Bsin C)，则cos cos Acossin Asin.16.(本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B.(1)证明：根据正弦定理，可设k(k0)，则aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsi
8、n(AB).在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C.所以sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B.故tan B4.17.(本小题满分14分)如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km，与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份文件交送给这辆汽车的司机.(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送
9、到司机手中？(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.解(1)如图所示，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向行驶，t h后与汽车在C处相遇，在ABC中，AB500，AC100t，BCvt，BD为AC边上的高，BD300.设BAC，则sin ，cos .由余弦定理得BC2AC2AB22ABACcos ，v2t2(100t)250022500100t，整理得v210 000250 00010 000250 0003 600.当，即th时，v3 600，vmin60.即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把文件送到司机手中.(2)当v60 km/h时，在ABC中，AB500
10、，AC100625，BC60375，由余弦定理得cosABC0，ABC90，故快艇应以垂直于AB的方向向东北方向行驶.18.(本小题满分16分)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)求cos Acos C的最大值.解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA，0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin，0A，A，故当A，即A时，cos Acos C取得最大值为1.19.(本小题满分16分)已知a，b，c分别为A
11、BC的内角A，B，C的对边，且acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，求ABC面积的最大值.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.易知sin C0，所以sin Acos A1，所以sin.又0A，所以A.(2)由(1)得BCCB，由正弦定理得，所以bsin B，csin C.所以SABCbcsin Asin Bsin Csin sin Bsin Csin Bsinsin 2Bcos 2Bsin.易知2B，故当2B，即B时，SABC
12、取得最大值，最大值为.20.(本小题满分16分)在一个直角边长为10 m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在ABC的三条边上，且要使PQR的面积最小，现有两种设计方案：方案一：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上.请问应选用哪一种方案？并说明理由.方案一方案二解应选方案二，理由如下：方案一：过点Q作QMAC于点M，作QNBC于点N，因为PQR为等腰直角三角形，且QPQR，MQRNQP，RMQPNQ90，所以RMQPNQ，所以QMQN，所以Q为AB的中点，M，N分别为AC，BC的中点，则QMQN5 m，设RQM，则RQ，0，45，所以SPQRRQ2.所以当cos21，即0时，SPQR取得最小值 m2.方案二：设CQx，RQC，0，90)，在RCQ中，RQ，在BPQ中，PQB90，所以，即，化简得，解得x，所以SPQRRQ2，因为(sin 2cos )25，所以SPQR的最小值为10 m2.综上，应选用方案二.