1、2.2.2函数的奇偶性(二)学习目标1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题题型一用奇偶性求解析式例1设f(x)是奇函数，当x0时，f(x)(1x)x，求当x0时f(x)的解析式解设x0，所以f(x)1(x)(x)(1x)x，又因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(1x)x，即f(x)(1x)x.所以当x0时，f(x)的解析式是f(x)(1x)x.引申探究1把例题中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其他条件不变，结果如何？解设x0，所以f(x)1(x)(x)(1x)x，又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)(1x
2、)x，即f(x)(1x)x.所以当x0时，f(x)的解析式是f(x)(1x)x.2例题条件不变，画出f(x)的图象(草图)并写出其单调区间解由例题解析知x0时，f(x)x1，求f(x)的解析式解设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，当x0时，f(x)x1.又x0时，f(0)0，所以f(x)题型二函数单调性和奇偶性的综合问题例2函数yf(x)在0,2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)ff Bff(1)fCfff(1) Dff(1)f答案B解析函数f(x2)是偶函数，函数f(x)的图象关于直线x2对称，ff，ff
3、，又f(x)在0,2上单调递增，ff(1)f，即ff(1)f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)答案A解析由偶函数与单调性的关系知，当x0，)时，f(x)是增函数，则x(，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|f(3)f(2)，故选A.例3已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0，若f(x1)0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)，又f(x)是偶函数，且在0，)上单调递减，f(|x1|)f(2)，|x1|2，2x12，1xf(x2)或f(
4、x1)f(2)转化得f(|x1|)f(2)，再由f(x)在0，)上单调递减即可脱去“f”，得到|x1|2，其优点在于避免了讨论跟踪训练3函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在0，)上是增函数，f(3)1 Ba1或a2 D1a2答案C解析因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)f(2a1)，所以f(3)f(|2a1|)，又函数f(x)在0，)上是增函数，所以31或a2，故选C.1已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性
5、求解即可2奇偶性与单调性综合的两种题型及解法(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为其对称区间上的函数值，使其在同一单调区间上，然后利用单调性比较大小(2)抽象不等式问题，解决步骤是：将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题1下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1 Byx3Cy Dyx|x|答案D解析A中的函数不是奇函数；B中的函数是奇函数，但不是定义域上的增函数；C中的函数在定义域上不单调；D中的函数yx|x|是定义域上的奇函数，当x0时，是单调增函数，当x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)f(x)1，即xf(2x)，则x的取值范围为_答案解析f(x)为奇函数，且在0，)上是减函数，f(x)在R上是减函数，原不等式可化为x12x，解得x.即x的取值范围是.5已知函数yg(x)在区间(3,0)上是减函数，且函数yg(x3)是偶函数，试比较g(5)，g，g的大小解由函数yg(x3)是偶函数，得g(x3)g(x3)因为gggg，g(5)g(23)g(23)g(1)，而gg(5)