1、2.2.2函数的奇偶性(一)学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.了解奇函数、偶函数图象的特点.3.掌握判断奇偶性的方法知识点函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，设函数yf(x)的定义域为A如果对任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数如果对任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数图象特点图象关于原点对称图象关于y轴对称奇偶性如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性提示(1)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质(2)如果函数的
2、定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性，所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件(3)若函数yf(x)图象关于原点(y轴)对称，则f(x)必是奇(偶)函数.题型一判断函数的奇偶性例1判定下列函数的奇偶性：(1)f(x)(x1)(x1)(2)f(x).(3)f(x).(4)f(x)(5)f(x).解(1)函数的定义域为R，因为函数f(x)(x1)(x1)x21，又因为f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数(2)因为它的定义域为x|xR且x1，所以对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，故f(x)为非奇非偶函数(3)定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有
3、f(x)0，所以f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数又f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数即该函数既是奇函数又是偶函数(4)定义域为x|x0f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(5)定义域为x|1x1，且x0，故f(x)，f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数反思感悟判断函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法：确定函数的定义域；看定义域是否关于原点对称不对称，则函数为非奇非偶函数；对称(2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性提醒：定义域关于原点对称的函数具有奇偶性的前提条件，判断奇偶性时学生易忽视函数的定义域跟踪训练1下列函数中，是偶函数的有_(填序号)f(x
4、)x3；f(x)|x|1；f(x)；f(x)x；f(x)x2，x1,2答案解析对于，定义域为R，f(x)x3f(x)，为奇函数；对于，定义域为R，f(x)|x|1|x|1f(x)，为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)f(x)，为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)xf(x)，为奇函数；对于，定义域为1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，为非奇非偶函数题型二奇(偶)函数的图象问题例2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使f(x)0的x的取值集合解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(
5、x)在5,5上的图象关于原点对称由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示(2)由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(2,0)(2,5)反思感悟巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值域问题跟踪训练2如图所示是函数f(x)在区间0，)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据解因为f(x)，所以f(x)的定义域为R.又对任意xR，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示题型三利用函数的
6、奇偶性求值或参数例3(1)已知函数f(x)x3ax2bxc是定义在2b5,2b3上的奇函数，则f的值为()A. B. C1 D无法确定答案B解析由题意可知2b52b30，即b2，又f(x)是奇函数，故f(x)f(x)0，所以2ax22c0对任意定义域内的x都成立，则ac0，所以f21.(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，则f(3)_.答案7解析令g(x)x7ax5bx3cx，则g(x)是奇函数，f(3)g(3)2g(3)2，又f(3)3，g(3)5.又f(3)g(3)2，所以f(3)527.引申探究1本例(1)的条件改为“f(x)ax2bxb1是定义在a1,2a上的偶函数”
7、，求f的值解由题意可知a，b0，f(x)x21，f1.2把本例(2)的条件“f(3)3”换为“f(d)10”，求f(d)的值解令g(x)x7ax5bx3cx，易知g(x)为奇函数，f(d)g(d)210，即g(d)8.所以f(d)g(d)2g(d)2826.反思感悟利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解跟踪训练3若函数f(x)x2(a5)xb是偶函数，定义域为a,2b，则a_，b_.答案5解析由题意可知，f(x)f(x)，即2(
8、a5)0，a5，b.1两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0f(x)为偶函数2两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于y轴对称3证明一个函数具有奇偶性，必须证明f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)而证明一个函数不具有奇偶性，只要能举出一个反例就可以了.1下列函数是偶函数的是()Ayx By2x23Cy Dyx2，x(1,1答案B2函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称答案C解析函数的
9、定义域为x|x0，f(x)xf(x)，故函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称3设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于()A3 B1 C1 D3答案A解析因为函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2x2x.所以f(1)f(1)2(1)2(1)3.4已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.答案0解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，2ax20对任意xR恒成立，所以a0.5已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示(1)请补出函数yf(x)的完整图象；(2)根据图象写出函数yf(x)的单调增区间；(3)根据图象写出使f(x)0的x的取值集合解(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)(3)根据图可知，使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(0,2).