1、3.1.2指数函数(二)学习目标1.会利用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.2.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断题型一求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域例1求下列函数的定义域、值域(1)y；(2)y4x2x1.解(1)函数的定义域为R(对一切xR,3x1)y1，3x0,13x1，01，10，010，当2x，即x1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，值域为.反思感悟解此类题的要点是设axt，利用指数函数的性质求出t的范围从而把问题转化为yf(t)的问题跟踪训练1求下列函数的定义域、值域(1)y；(2)y(a0，且a1)解(1)1x0，x1
2、，解得x0，原函数的定义域为0，)令t1x (x0)，则0t1，00，t11，01，20，110且y1(2)由5x10，得x，所以函数定义域为.由0，得y1，所以函数值域为y|y1题型二指数型函数的单调性例3判断f(x)的单调性，并求其值域解令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上是单调减函数，在1，)上是单调增函数，yu在(，)上是单调减函数，y在(，1上是单调增函数，在1，)上是单调减函数ux22x(x1)211，yu，u1，)，00，a1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1时，y关于u为单调
3、增函数；当0a1时，原函数的单调增区间为1，)，单调减区间为(，1；当0a0，且a1)的定义域为R，即xR，所以函数yaf(x)(a0，且a1)与函数f(x)的定义域相同2求函数yaf(x)(a0，且a1)的值域的方法如下(1)换元，令tf(x)，并求出函数tf(x)的定义域(2)求tf(x)的值域tM.(3)利用yat的单调性求yat在tM上的值域3(1)研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)的单调性相同当0a1时，yaf(x)与f(x)的单调性相反(2)研究yf(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的单调增区间还是单调减区间.1函数f(x)的单调
4、递增区间为()A(，0 B0，)C(1，) D(，1)答案A解析f(x)，00，则0，解得0y0且a1)的图象经过点.(1)比较f(2)与f(b22)的大小；(2)求函数g(x)(x0)的值域；解(1)由已知得a2，解得a，因为f(x)x在R上是单调减函数，且2b22，所以f(2)f(b22)(2)因为x0，所以x22x1，所以3，即函数g(x)(x0)的值域为(0,3.一、选择题1函数y3的单调递减区间是()A(，) B(，0)C(0，) D(，0)和(0，)答案D解析设u，则y3u，对任意的0x1u2.又因为y3u在R上是增函数，所以y1y2，所以y在(0，)上是减函数对任意的x1x2u2
5、，又因为y3u在R上是增函数，所以y1y2，所以y在(，0)上是减函数所以函数y的单调递减区间是(，0)和(0，)2函数y1x的单调增区间为()AR B(0，) C(1，) D(0,1)答案A解析令u(x)1x，则u(x)在R上是单调减函数，又yu(x)是关于u(x)的单调减函数，故y1x在R上是单调增函数，故选A.3已知集合M1,1，N，则MN等于()A1,1 B1 C0 D1,0答案B解析2x14，212x122，1x12，2x1.又xZ，x0或x1，即N0，1，MN14函数y的值域是()A(，0) B(0,1 C1，) D(，1答案B解析令t，则t0，yt是减函数，00，y的值域为.9函
6、数在(，1)内是单调增函数，则a的取值范围是_答案2，)解析由复合函数的单调性知，x2ax的对称轴x1，即a2.10已知函数f(x)2|xa|(a为常数)，若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_答案(，1解析由函数f(x)2|xa|可得，当xa时，函数f(x)为增函数，而已知函数f(x)在区间1，)上为增函数，所以a1，即a的取值范围为(，1三、解答题11已知函数f(x).(1)若a1，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值；解(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3(x2)27，由于g(x)在(2，)上是单调减函数，yx在R上是单调减函
7、数，f(x)在(2，)上是单调增函数，即f(x)的单调增区间是(2，)(2)令h(x)ax24x3，f(x)h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1.因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.12已知函数f(x)ax1(x0)的图象经过点，其中a0且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)1(x0)的值域解(1)因为函数f(x)ax1(x0)的图象经过点，所以a21a.(2)由(1)得f(x)x1(x0)，函数为减函数，当x0时，函数取最大值2，故f(x)的值域是(0,2，所以函数yf(x)1x11(x0)的值域是(1,313已知函数y22x132x5.(1)如果y13，求x的取值范围；(2)如果0x2，求y的取值范围解由题意可知，y(2x)232x5.(1)由y13，得(2x)262x160，所以(2x8)(2x2)0，所以2x80，解得x3，所以x的取值范围为(，3)，(2)因为0x2，所以12x4.而y(2x3)2，于是，当2x3时，y取得最小值，且最小值为；当2x1时，y取得最大值，且最大值为，所以y的取值范围为.