1、2.2.1函数的单调性(二)学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值知识点函数的最值最大值最小值条件设函数yf(x)的定义域为A，如果存在实数x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)f(x)f(x0)结论f(x0)是函数yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)f(x0)是函数yf(x)的最小值，记为yminf(x0)几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标题型一利用函数的图象求函数的最值(值域)例1(1)如图为函数yf(x)，x5,4的图象，则它的最大值是_，最小值是_答案32解析由图象可知：当x2时，函数取得最小值2；当
2、x5时，函数取得最大值3.(2)已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值解作出f(x)的图象如图：由图可知，当x1时，f(x)max1，当x0时，f(x)min0，所以f(x)最大值为1，最小值为0.(3)已知函数f(x)|x1|x1|.画出f(x)的图象；根据图象写出f(x)的最小值解当x1时，f(x)(x1)(x1)2x；当1x1时，f(x)x1(x1)2；当x1时，f(x)x1x12x，所以f(x)图象如图所示：由图象可知，f(x)的最小值为2.反思感悟利用图象求函数最值的方法：画出函数yf(x)的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点
3、的纵坐标是函数的最小值跟踪训练1已知函数f(x)(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域解(1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调增区间为(1,0)，(2,5)，单调减区间为(0,2)，值域为1,3题型二利用函数的单调性求最值例2已知函数f(x)，x3,5(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x23,5且x1x2，f(x1)f(x2)，因为3x1x25，所以x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在3,5上为增函数(2)由(1
4、)知，f(x)在3,5上为增函数，则f(x)maxf(5)，f(x)minf(3).反思感悟(1)若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)(2)若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势跟踪训练2已知函数f(x)(x2,6)，求函数的最大值和最小值考点函数的最值
5、及其几何意义题点由函数单调性求最值解设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，函数f(x)在区间2,6上是减函数因此，函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x2时取得最大值，最大值是2，在x6时取得最小值，最小值是.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是f(
6、a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).1.函数f(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为()Af(2)，f(2)Bf，f(1)Cf，fDf，f(0)答案C解析由函数f(x)的图象可知，f(x)maxf，f(x)minf.2函数f(x)在1，)上()A有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值D无最大值也无最小值考点函数的最值及其几何意义题点利用一次函数、分式函数单调性求最值答案A3函数f(x)的值域是()AR B1,1C1,1 D1,0,1考点函数的最值及其几何意义题点分段函数最值答案D解析该函数的函数值只有三个4若函数yax1在1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是_答案2解析由题意知a0，当a0时，有(2a1)(a1)2，解得a2；当a0时，有(a1)(2a1)2，解得a2.综上知a2.5已知函数f(x)则f(x)的最大值为_考点函数的最值及其几何意义题点由函数图象求最值答案2解析f(x)的图象如图：则f(x)的最大值为f(2)2.