1、2.2.1函数的单调性(三)学习目标1.能利用函数的单调性求解二次函数的最值.2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值题型一定轴定区间的最值问题例1已知函数f(x)3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值(1)R；(2)0,3；(3)1,1解f(x)3x212x53(x2)27.(1)当xR时，f(x)3(x2)277，当x2时，等号成立故函数f(x)的最小值为7，无最大值(2)函数f(x)3(x2)27的图象如图所示，由图可知，在0,3上，函数f(x)在x0处取得最大值，最大值为5；在x2处取得最小值，最小值为7.(3)由图可知，函数f(x)在1,1上是
2、减函数，在x1处取得最大值，最大值为20；在x1处取得最小值，最小值为4.反思感悟(1)函数yax2bxc(a0)在区间上是减函数，在区间上是增函数，当x时，函数取得最小值；(2)函数yax2bxc(a0)在区间上是增函数，在区间上是减函数，当x时，函数取得最大值跟踪训练1函数f(x)x22x2(x5,5)的最大值和最小值分别是()A17,1 B37,17 C37,2 D37,1答案D解析f(x)x22x2(x5,5)的对称轴为x1，所以f(x)在5,1上单调递减，在(1,5上单调递增，f(5)37，f(1)1，f(5)17，故f(x)minf(1)1，f(x)maxf(5)37.题型二动轴定
3、区间的最值问题例2已知函数f(x)x22ax2，x1,1，求函数f(x)的最小值解f(x)x22ax2(xa)22a2的图象开口向上，且对称轴为直线xa.当a1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间1,1上是减函数，最小值为f(1)32a；当1a，即a1时，f(x)的最大值为f(0)1.题型三定轴动区间上的最值问题例3已知函数f(x)x22x2，xt，t1，tR的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为直线x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为g(t)f(t)t
4、22t2.综上可得g(t)反思感悟本类题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响，借助图形，可以更直观、清晰地解决问题跟踪训练3已知函数f(x)x2x1，求f(x)在t，t1(tR)上的最小值g(t)解f(x)x2x1，其图象的对称轴为x，由图象可知(图略)当t时，f(x)在其上是增函数，函数最小值为g(t)f(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在其上是减函数，函数最小值为g(t)f(t1)2t2t1；当tt1，即t400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 0001004000)在区间m，n上的最值一般
5、分为以下几种情况：(1)若x在区间m，n内，则最小值为f，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与直线x距离较远的一个对应的函数值为最大值)；(2)若xn，则f(x)在区间m，n上是减函数，最大值为f(m)，最小值为f(n)1函数yx22x，x0,3的值域为()A0,3 B1,0C1，) D1,3答案D解析函数yx22x(x1)21，x0,3，当x1时，函数y取得最小值为1，当x3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为1,3，故选D.2已知0x1，则函数yx(32x)的最大值是_答案解析原函数可化为y2x23x22，所以当x时，函数有最大值.3函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最小值是f(2)，则a的取值范围是_答案2，)解析由题意知f(x)在1,2上是单调递减的，因为f(x)的对称轴为xa，开口向上，所以a2.4求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值g(a)的解析式解函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是单调减函数，函数最小值为g(a)f(4)188a；当2a4时，函数最小值为g(a)f(a)2a2.函数最小值为g(a)