1、3.1.2指数函数(三)学习目标1.通过指数函数图象的变换，能画出具体函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质.2.掌握指数函数性质并会应用题型一指数函数的平移变换及对称变换例1利用函数f(x)x的图象，作出下列各函数的图象：(1)f(x1)；(2)f(x)1；(3)f(x)；(4)f(x)；(5)f(x)；(6)f(|x|)；(7)|f(x)1|.解反思感悟(1)平移变换：yf(x)yf(xa)yf(x)yf(x)k(2)对称变换：yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)跟踪训练1若a1，1b1，且1b1)(1)判断该函数的奇偶性并说明理由；(2)求该函数的值
2、域；(3)证明f(x)是R上的增函数(1)解f(x)是奇函数，理由如下：函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)f(x)0.所以函数f(x)为奇函数(2)解因为f(x)1(a1)设tax，则t0，因为y1(t0)的值域为(1,1)，所以函数f(x)的值域为(1,1)(3)证明任取x1，x2R，且x11，x1，x2R，且x1x2，所以，所以0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)是R上的增函数反思感悟(1)指数型函数的奇偶性、单调性和值域需要利用指数函数的特殊性来判断(2)函数的奇偶性的判断方法，首先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)之间的关系跟踪训练
3、2已知函数f(x)2x2axb，且f(1)，f(2).(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f(x)在0，)上的单调性，并求f(x)的值域解(1)解得故a，b的值分别为1,0.(2)f(x)是偶函数由(1)知f(x)2x2x，f(x)的定义域为R，关于原点对称，因为f(x)2x2xf(x)，所以f(x)为偶函数(3)函数f(x)在0，)上为增函数，设任意x1x2，且x1，x20，)，则f(x1)f(x2)因为x10，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)0恒成立，求实数k的取值范围解(1)设g(x)ax(a0，且a1)，则a38，a2.g(x)2x，f(x)
4、.f(x)的定义域为R且是奇函数，f(0)0，即0，解得n1.f(x).又f(1)f(1)，解得m2.经检验知f(x)f(x)恒成立，f(x).(2)由(1)知f(x)，易知f(x)在R上为减函数又f(x)是奇函数，f(2t3)f(tk)0，f(2t3)f(tk)f(kt)2t3kt，即对一切t1,4，3t39.故实数k的取值范围是(9，)反思感悟(1)不等式恒成立问题一般都采用分离参数，转化为求最值(2)若不等式Mf(x)恒成立，只要Mf(x)max.(3)若不等式Mf(x)恒成立，只要Mf(x)min.跟踪训练3设函数f(x)12xa4x，若不等式f(x)0在x(，1上恒成立，求实数a的取
5、值范围解由题意得12xa4x0在x(，1上恒成立，即a在x(，1上恒成立又2xx2，x(，1，x.令tx，则g(t)2，t.则g(t)在上为减函数，g(t)g2，即g(t).ag(t)恒成立，a.指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)(3)利用函数的奇偶性与单调性奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.1函数yaxa (a0且a1)的大致图象可能是()答案C解析如果函数的图象是A，那么由1a1，得a0，这与a0且a1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a1a0，得00，这是不
6、可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么由01a1，得0a1，且a1a0，故C可能；如果函数的图象是D，那么由a1a0，得00时，x0，f(x)x2x，满足f(x)f(x)；同理可得，当x0时，也有f(x)f(x)故f(x)是偶函数方法二作出函数f(x)的图象(如图所示)，由图象易知f(x)为偶函数5已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)ex(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)在R上的解析式，并作出f(x)的大致图象；(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域解(1)当x0，所以f(x)ex，因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)ex，所以f(x)作大致图象
7、如图：(2)由图象得：函数f(x)的单调递增区间是(，0，单调递减区间是0，)值域是(0,1一、选择题1已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)3x，那么f(2)的值为()A9 B. C D9答案C解析由题意得f(2)f(2)32.2函数y(0a0时，yax；当x0时，yax，又0a0时，y(0,1)；当xf()，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由偶函数的对称性可得函数yf(x)在(0，)上单调递减，由f(2|a1|)f()f()，得2|a1|，即|a1|，解得a0时，f(x)10x，则当x0时，f(x)_.答案解析设x0，f(x)10x，又由于函数f(x)为奇函数
8、，所以f(x)f(x)，故当x1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是_答案1，)解析4x2x1m1等价于(2x)222x12m，即(2x1)22m.2x(0，)，2x1(1，)，2m1，解得m1.10已知函数f(x)|2x1|，当abf(c)f(b)给出以下结论：ac0.bc2.2b2c2.其中正确的结论序号为_答案解析当abf(c)f(b)，所以f(x)|2x1|的图象在直线y1的下方，如图所示：所以|a|c|，故ac2，正确三、解答题11已知函数y|x1|.(1)画出函数的图象(简图)；(2)由图象指出函数的单调区间；(3)由图象指出当x取何值时函数有最值，并求出最值解(1)方法一y|x
9、1|其图象由两部分组成：一部分：yx(x0)的图象yx1(x1)的图象；另一部分：y3x(x0)的图象y3x1(x1)的图象得到的函数图象如图所示方法二可知函数y|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出yx(x0)的图象，当x0，且a1)是奇函数(1)求常数k的值；(2)若a1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明；(3)若已知f(1)，且函数g(x)a2xa2x2mf(x)在区间1，)上的最小值为2，求实数m的值解(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)0，k10，k1.(2)当a1时，函数f(x)在R上是单调增函数由(1)知f(x)axax，设任意实数x1x2，f(x2)f(x1
10、)x11，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)故当a1时，函数f(x)在R上是单调增函数(3)f(1)，a，a3或a(舍去)，g(x)32x32x2m(3x3x)(3x3x)22m(3x3x)2.令tf(x)3x3x，则f(x)3x3x为单调增函数x1，tf(1).则g(x)h(t)t22mt2(tm)22m2，若m，当tm时，h(t)min2m22，m2(舍去)若mm24m2恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)是R上的单调增函数证明如下：因f(x)的定义域为R，任取x1，x2R且x1x2.则f(x1)f(x2)yex为单调增函数，00，10.f(x1)f(x2)f(x1)，故f(x)是R上的单调增函数(2)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，aa，2a2，a1，f(x)1，令tex1，ex0，t1，又g(t)1在(1，)上为增函数，1g(t)1，即1f(x)m24m2对任意实数x恒成立，有m24m21，即m24m30，1m3，故实数m的取值范围是1,3