1、2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性(一)学习目标1.理解函数单调性、单调区间等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性知识点一函数的单调性设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间知识点二函数的单调区间如果一个函数在某个区间I上是单调增函数或单调减函数，就说这个函数在这个
2、区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间提示(1)单调区间要写成区间形式，不能写成集合或不等式的形式(2)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开(3)单调区间D定义域I.(4)遵循最简原则，单调区间应尽可能大题型一求单调区间并判断单调性例1求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是单调增函数还是单调减函数(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3.解(1)函数f(x)的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是单调增函数(2)当x1
3、时，f(x)是单调增函数，当x1时，f(x)是单调减函数，所以f(x)的单调区间为(，1)，1，)，并且函数f(x)在(，1)上是单调减函数，在1，)上是单调增函数(3)因为f(x)x22|x|3根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，)f(x)在(，1，0,1)上是单调增函数，在(1,0)，1，)上是单调减函数反思感悟1.求函数单调区间的方法(1)利用常见函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)2若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一
4、，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)跟踪训练1(1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是单调增函数还是单调减函数；(2)写出y|x22x3|的单调区间解(1)函数在1,0，2,4上是单调减函数，在0,2，4,5上是单调增函数(2)先画出f(x)的图象，如图所以y|x22x3|的单调减区间为(，1，1,3；单调增区间为1,1，3，)题型二证明单调性例2求证：函数f(x)x在1，)上是增函数考点函数的单调性的判定与证明题点定义法证明具体函数的单调性证明设x1，x2是1，)上的任意实数，且1x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).1x1x
5、2，x1x20,10，故(x1x2)0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在区间1，)上是增函数反思感悟定义法证明或判断函数单调性的四个步骤跟踪训练2利用定义判断f(x)在区间(0，)上的单调性解任取x1，x2(0，)且x1x2，则f(x2)f(x1).因为x10，x130，x230，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x)在区间(0，)上是增函数题型三单调性的应用例3若函数f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围为()A. B.C. D.考点函数单调性的应用题点已知分段函数单调性求参数范围答案A解析要使f(x)在R上是减函数，需满足：解得a.反思感悟分段函数在定义
6、域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的跟踪训练3已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,3) B(0,3 C(0,2) D(0,2答案D解析依题意得实数a满足解得0a2.例4已知函数yf(x)的定义域为R，且为单调增函数，f(1a)f(2a1)，求a的取值范围解yf(x)的定义域为R，且为单调增函数，f(1a)f(2a1)，1a，所求a的取值范围是.反思感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小关系，可得f(x1)，f(x2)的大小关系；由f(x1)，f(x2)的大小关系，可得x1，x2的大小关系跟踪
7、训练4已知yf(x)在定义域(1,1)上是单调减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围解由题意可知，f(1a)f(2a1)等价于解得0a，即所求a的取值范围是.1若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都为单调减函数，未必有f(x)在AB上为单调减函数2对单调增函数的判断，对任意x1x2，都有f(x1)0或0.对单调减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1x2)f(x1)f(x2)0或0.3熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等4若f(x)，g(x)都是单调增函数，h(x)是单调减函数，则在定义域的交集(非空)上：
8、f(x)g(x)为单调增函数，f(x)h(x)为单调增函数，f(x)为单调减函数，为单调减函数(f(x)0)5对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.1如图所示是定义在区间5,5上的函数yf(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A函数在区间5，3上是单调增函数B函数在区间1,4上是单调增函数C函数在区间3,14,5上是单调减函数D函数在区间5,5上没有单调性答案C解析由图可知，f(x)在区间3,1，4,5上是单调减函数，单调区间不可以用并集“”连接，故选C.2如果函数f(x)x22bx2在区间3，)上是单调增函数，则b的取值范围为()Ab3 Bb3Cb3 Db3答案C解析函数f(x)x22bx2的图象是开口向上，且以直线xb为对称轴的抛物线，若函数f(x)x22bx2在区间3，)上是单调增函数，则b3，故选C.3已知函数f(x)(k0)在区间(0，)上是单调增函数，则实数k的取值范围是_答案(，0)解析结合反比例函数的单调性可知kf(1)，则x的取值范围是_答案(1,1)解析由题意知，|x|1，解得1xx21，则f(x1)f(x2).x1x21，x1x20，x110，x210，0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，y在(1，)上是单调增函数.