1、3.3幂函数学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握yx的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题知识点一幂函数的概念一般地，我们把形如yx的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数提示幂函数是形如yx(R)，自变量在底数上，而指数函数是形如yax(a0且a1)，自变量在指数上知识点二五个幂函数的图象与性质1在同一平面直角坐标系内函数(1)yx；(2)y；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象如图2五个幂函数的性质yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在0，) 上增，
2、在(，0 上减增增在(0，) 上减，在(，0) 上减知识点三一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；(3)当1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.题型一幂函数的概念例1已知y(m22m2)2n3是幂函数，求m，n的值解由题意得解得所以m3或1，n.反思感悟幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂
3、函数如：y3x2，y(2x)3，y4都不是幂函数跟踪训练1在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数为_答案y解析因为yx2，所以是幂函数；y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；yx01(x0)，可以看出，常数函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y1不是幂函数题型二幂函数的图象及应用例2若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1或xg(x)；(2)当x1或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1且x0时，f(x)cba
4、BabcdCdcabDabdc答案B解析在第一象限内，x1的右侧部分图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd.故选B.题型三幂函数性质的综合应用例3设a，b，c，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)答案bac解析yx在R上为单调减函数，即a，即ac.bac.反思感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量跟踪训练3比较下列各组数中两个数的大小(1)0.3与0.3；(2)1与1；(3)0.3与.解(1)00.3，0.30.3.(2)yx1在(，0)上为单调减函数，且1.(3)yx0
5、.3在(0，)上为单调增函数，由0.3，可得0.30.30.3.又y0.3x在(，)上为单调减函数，0.30.3.由知0.3.例4已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于y轴对称且在(0，)上是单调减函数，求满足的a的取值范围解因为函数在(0，)上是减函数，所以3m90，解得m32a0或32aa10或a1032a.解得a或af(a1)的实数a的取值范围解(1)mN*，m2mm(m1)为偶数令m2m2k，kN*，则f(x)，定义域为0，)，在0，)上f(x)为单调增函数(2)m2m2，解得m1或m2(舍)，f(x)，由(1)知f(x)在定义域0，)上为单调增函数，f(2a)f(a1)等价于2a
6、a10，解得1a1，故选C.4若f(x)x在(0，)上单调递增，则的取值范围为_答案(0，)解析由f(x)的单调性可知0，即的取值范围为(0，)5比较下列各组数的大小(1)与；解(1)因为函数y在(0，)上为减函数，又33.1，所以(2)所以一、选择题1下列函数中是幂函数的是()Ayx4x2 By10xCy Dyx1答案C解析根据幂函数的定义知，y是幂函数，yx4x2，y10x，yx1都不是幂函数2已知幂函数f(x)(n22n2)(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3 B1 C2 D1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只
7、有n1符合题意，故选B.3在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是()考点幂函数的图象题点幂函数有关的知图选式问题答案C解析选项A中，幂函数的指数a1，则直线yax应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a0，直线yax在y轴上的截距为正，D错误4设a，则使函数yxa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是()A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3答案A解析当a1时，yx1的定义域是x|x0，且为奇函数；当a1时，函数yx的定义域是R，且为奇函数；当a时，函数yx的定义域是x|x0，且为非奇非偶函数；当a3时，函数yx3的定义域是R且为奇函数故选A.5幂函数的图象经过点(4,
8、2)，若0ab1，则下列各式正确的是()Af(a)f(b)ffBfff(b)f(a)Cf(a)f(b)ffDff(a)ff(b)答案C解析设幂函数为f(x)x，将(4,2)代入得，所以函数f(x)在(0，)上为增函数，又0ab1，即ab，所以f(a)f(b)f”连接)答案acb解析因为y在x0时是单调增函数，所以ac.又yx在x0时是单调减函数，所以cb.所以acb.9已知x2，则x的取值范围是_答案(，0)(1，)解析作出函数yx2和y的图象(如图所示)由图象易知，当x2时，x1.10若(32a)12a10或032a2a1或32a02a1，解得a.三、解答题11利用定义探讨函数f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)取x1，x2(0，)，且x1x10，所以x1x20，于是f(x2)f(x1)0，即f(x2)0，解得k3.kZ，k1或k2.当k1时，(2k1)(3k)2，满足函数f(x)为偶函数，当k2时，(2k1)(3k)3，不满足函数f(x)为偶函数，k1，且f(x)x2.(2)f(x)x2，g(x)f(x)mxx2mx，函数g(x)的对称轴为直线x.要使函数g(x)在1,1上是单调函数，则1或1，解得m2或m2，故m的取值范围是(，22，)