1、3.4.2函数模型及其应用学习目标1.理解函数模型的概念和作用.2.能用函数模型解决简单的实际问题.3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性知识点一函数模型常见函数模型解析式条件一次函数模型ykxbk0反比例函数模型ybk0二次函数模型一般式：yax2bxc顶点式：ya2a0指数型函数模型ybaxcb0，a0且a1对数型函数模型ymlogaxnm0，a0且a1幂函数型模型yaxnba0，n1知识点二用函数模型解决实际问题1解答应用问题的基本思想2解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；建模：将自然语言转化为数学语
2、言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论知识点三数据拟合现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的数据拟合就是研究变量之间的这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制此类题的解题过程一般有如下五步(1)作图：即根据已知数据，画出散点图(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试(3
3、)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式(4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型(5)利用所求出的函数模型解决问题.题型一利用已知函数模型求解实际问题例1物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则TTa(T0Ta)其中Ta表示环境温度，h称为半衰期现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降温到40 需要20 min，那么降温到32 时，需多长时间？解由题意知4024(8824)，即，解得h10，故原式可化简为T24(8824)，当T32时，代入上式，得，3224(
4、8824)，即3，t30.因此，需要30 min，可降温到32 .反思感悟已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值跟踪训练1某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P(tN*)，设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q40t(0t30，tN*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？解设日销售金额为y(元)，则yPQ，所以y(tN*)，当0t25且tN*时，y(t10)2900，所以当t10时，ymax900(元
5、)当25t30且tN*时，y(t70)2900，所以当t25时，ymax1 125(元)结合得ymax1 125(元)因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大题型二自建确定性函数模型解决实际问题例2某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入(日净收入等于一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费
6、用)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解(1)当x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3.又因为xN，所以3x6，且xN.当6x20，且xN时，y503(x6)x1153x268x115，综上可知，yf(x)(2)当3x6，且xN时，因为y50x115是单调增函数，所以当x6时，ymax185.当6x20，且xN时，y3x268x11532，所以当x11时，ymax270.综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元反思感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限
7、制什么”求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人数不能是半个等跟踪训练2学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图所示的图象当x(0,12时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x12,40时，图
8、象是线段BC，其中C(40,50)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳(1)试求yf(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由解(1)当x(0,12时，设f(x)a(x10)280(a0)因为该部分图象过点B(12,78)，将B点的坐标代入上式，得a，所以f(x)(x10)280.当x12,40时，设f(x)kxb(k0)因为线段BC过点B(12,78)，C(40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组解得所以f(x)x90.故所求函数的关系式为f(x)(2)由题意，得或解得4x12或12x28，即4x28.故老师应在x(4,2
9、8)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳题型三拟合数据构建函数模型解决实际问题例3某企业常年生产一种出口产品，自2014年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知2014年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出20142017年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2018年(即x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2018年的年产量为多少？解(1)画出散点图，如图所示(2)由
10、散点图知，可选用一次函数模型设f(x)axb(a0)由已知得解得f(x)1.5x2.5.检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1.f(4)8.5，且|8.448.5|0.060)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.4加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位
11、：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次试验的数据根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟答案B解析依题意得解得所以p0.2t21.5t20.22，所以当t3.75时，p取得最大值，所以最佳加工时间为3.75分钟故选B.5据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系yalog3(x2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2018年冬有越冬白鹤()A4 000只 B5 000只 C6 000只 D7 000只答案C解析当x1时，
12、由3 000alog3(12)，得a3 000，所以到2018年冬，即第7年，y3 000log3(72)6 000.故选C.6在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线yf(x)，另一种是平均价格曲线yg(x)例如，f(2)3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元下图给出的四个图象中，实线表示yf(x)，虚线表示yg(x)，其中可能正确的是()答案C解析开始时平均价格与即时价格一致，排除A，D；即时价格减少时平均价格不能增大，排除B.二、填空题7工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya0.5xb，现已知该厂今年1月份、2月份生产该
13、产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为_万件答案1.75解析由题意有解得y20.5x2，3月份产量为y20.5321.75(万件)8一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_小时才能开车(精确到1小时，参考数据：lg 30.477，lg 40.602)答案5解析设至少经过x小时才能开车，由题意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.
14、750.34.2.9某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路该产品的广告效应是产品的销售额与广告费之间的差如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显示：每付出100元的广告费，所得的销售额是1 000元要获得最大的广告效应，该企业应该投入_元广告费答案2 500解析设广告费为x元，所得的销售额是y元，对应的广告效应为w元，则yk，wyxkx，当x100时，y1 000，即1 000k，解得k100，所以w100x(50)22 500，所以当50，即x2 500时，广告效应最大10在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg以及火箭(除燃料)质量m的关
15、系式是v2 000ln，要使火箭的最大速度可达12 km/s，燃料质量应是火箭质量的_倍答案e61解析12 0002 000ln，即6ln，即1e6，可得e61.11WAP手机上网每月使用时间在500分钟以下(包括500分钟)，按30元计费；超过500分钟时，超过部分按0.15元/分钟计费；假如上网时间过短(不超过1小时)，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费WAP手机上网不收通话费和漫游费小王1月份付了90元的WAP上网费，那么他上网时间是_分钟答案900解析设上网时间为x分钟，用x表示不小于x的最小整数，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为y因为90
16、元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，所以300.15(x500)90，解得x900，故上网时间为900分钟三、解答题12提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)
17、可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并结合(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，f(x)在区间0,20上取得最大值60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)(x100)2，当且仅当x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值.综上可得，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小
18、时13.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间解(1)当t0,1时，函数的解析式为ykt，将点M(1,4)代入得k4，y4t.当t(1，)时，函数的解析式为yta，将点(3,1)代入得a3，yt3.综上，yf(t)(2)由f(t)0.25，解得t5.5，服药一次治疗疾病的有效时间为小时14某工厂今年1月份、2月份、3月份分别生产某产品1万件、1.2万件、1.3万件为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(单位：万件)与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数yabxc(a，b，c为常数)已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上哪个函数作模拟函数较好？并求出模拟函数的解析式解若选用二次函数，设函数yAx2BxC(A0)，则解得所以二次函数为y0.05x20.35x0.7，当x4时，y1.3；若选用函数yabxc(a，b，c为常数)，则解得即y0.80.5x1.4，当x4时，y0.80.541.41.35.由此，可知用函数yabxc作模拟函数比较好，其解析式为y0.80.5x1.4.