1、3.1.2指数函数(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.能借助指数函数性质比较大小.4.会解决简单的指数方程，不等式知识点一指数函数的概念1指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2指数函数的结构特征(1)形如yax；(2)底数a满足a0，且a1；(3)指数是x.因此，指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是否是指数函数关键有三点：系数；底数；指数如y2x(xN*)，y2x1，y23x，y3x1等都不是指数函数，其中函数ykax(k0，a0，且a1)称为指数型函数，yax(xN
2、*)称为正整数指数函数提示由于yaxx，因此yax也是指数函数知识点二指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域R值域(0，)过定点(0,1)，即当x0时，y1单调性在R上是单调增函数在R上是单调减函数奇偶性非奇非偶函数题型一指数函数的概念例1(1)下列函数中，是指数函数的个数是()y(8)x；y；yax；y(2a1)x；y23x.A1 B2 C3 D0答案A解析为指数函数；中底数80且a1时，才是指数函数；中3x的系数不是1，所以不是指数函数(2)已知函数f(x)为指数函数，且f，则f(2)_.答案反思感悟(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a0，a1，指数位置是x，
3、其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数(2)要求指数函数f(x)ax(a0，且a1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可跟踪训练1已知指数函数y(2b3)ax经过点(1,2)，求a，b的值解由指数函数的定义可知2b31，即b2.将点(1,2)代入yax，得a2.题型二指数函数的图象例2(1)函数yax33(a0，且a1)的图象过定点_答案(3,4)解析令x30得x3，此时y4.故函数yax33(a0，且a1)的图象过定点(3,4)(2)已知y1x，y23x，y310x，y410x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()答案A解析方法一y23x与y410x单
4、调递增；y1x与y310xx单调递减，在第一象限内作直线x1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.方法二y23x与y410x单调递增，且y410x的图象上升得快，y1x与y23x的图象关于y轴对称，y310x与y410x的图象关于y轴对称，所以选A.反思感悟(1)因为当x1时，yaxa1a，所以在x1时的函数值即指数函数的底数在图中作直线x1与各图象相交，底数大的交点位置高，底数小的交点位置低，即在y轴右侧底大图高(2)因为当x1时，yaxa1，所以在x1时的函数值即指数函数中底数的倒数在图中作直线x1与各图象相交，大底数的倒数必然小，则交点位置低，小底数的倒数必然大，则交点位置
5、高，即在y轴左侧底大图低跟踪训练2已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象是()答案C解析由1nm0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由nm可知应选C.题型三利用指数函数的单调性比较大小例3比较下列各题中两个值的大小(1)1.72.5，1.73；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1；(4)a1.1与a0.3(a0且a1)解(1)1.71，y1.7x在(，)上是增函数2.53，1.72.51.73.(2)方法一1.71.5，在(0，)上，y1.7x的图象位于y1.5x的图象的上方而0.30，1.70.31.50.3.方法二1.50.30，且0.3，又
6、1,0.30，0.31，1.70.31.50.3.(3)1.70.31.701,0.83.10.801，1.70.30.83.1.(4)当a1时，yax在R上是增函数，故a1.1a0.3；当0a1时，yax在R上是减函数，故a1.11和0acb BabcCcab Dbca答案A解析在同一平面直角坐标系中作出函数yx和yx的图象(图象略)，由图象可知，cb，故选A.题型四简单的指数方程与指数不等式例4(1)方程33x281的解为_(2)方程52x65x50的解为_(3)不等式2x1ax7(a0且a1)的解集为_答案(1)x2(2)x1或x0(3)(4)当a1时，x当0a1，所以指数函数f(x)2
7、x在R上是单调增函数，由2x1x，则2x122x，可得x12x，解得x1时，a5xax7，5xx7，解得x；当0aax7，5x.综上所述，当a1时，x的取值范围是；当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当0aag(x)f(x)g(x)跟踪训练4若2a132a，则实数a的取值范围是_答案解析因为01，所以指数函数f(x)x在R上是单调减函数，由2a132a，可得a，即实数a的取值范围为.1判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2指数函数yax(a0，且a1)的性质分底数a1，0a1两种情况，但不论哪
8、种情况，指数函数都是单调的3(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a1或0aab的不等式，借助于函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数yax的单调性求解；(3)形如axbx的不等式，利用函数图象求解.1下列函数是指数函数的是()Ay2x1 Byx3Cy32x Dy3x答案D解析由指数函数的定义可知D正确2.如图是指数函数yax；ybx；ycx；ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc答案B解析方法一由图象可知的底数必大于1，的底数必小于1.作直线x1，
9、在第一象限内直线x1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1dc.方法二根据图象可以先分两类：的底数大于1，的底数小于1，再由比较c，d的大小，由比较a，b的大小当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近x轴3已知指数函数yax(a2)(a3)的图象过点(2,4)，则a_.答案2解析由指数函数的定义，可知(a2)(a3)0，解得a2或a3.当a2时，指数函数y2x的图象过点(2,4)，符合题意；当a3时，指数函数y3x的图象不过点(2,4)，应舍去4
10、把从小到大排列为_答案解析，而01且53x(a0且a1)，求x的取值范围解因为ax153x，所以ax1a3x5，当a1时，yax为增函数，可得x13x5，所以x3；当0a1时，yax为减函数，可得x13.综上，当a1时，x的取值范围为(，3)；当0a0，且a1)，则由点P(2，9)在函数f(x)的图象上，可得a29，解得a3或a3(舍去)，所以f(x)3x，故选A.2函数f(x)a2 019x2 018(a0，a1)的图象恒过定点()A(2 018,2 018) B(2 019,2 018)C(2 018,2 019) D(2 019,2 019)答案D解析令2 019x0，即x2 019，则
11、f(2 019)a02 0182 019，故函数f(x)的图象恒过定点(2 019，2 019)，故选D.3函数f(x)x与g(x)x的图象关于()A原点对称 Bx轴对称Cy轴对称 D直线yx对称答案C解析设点(x，y)为函数f(x)x的图象上任意一点，则点(x，y)为函数g(x)x的图象上的点因为点(x，y)与点(x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)x与g(x)x的图象关于y轴对称4方程42x116的解是()Ax Bx Cx1 Dx2答案B解析42x142，2x12，x.5若2a14a，解得a1.故选A.二、填空题6若1aa3解析结合指数函数的图象判断因为3a0，0，a30，且由1a0得0
12、a1，所以(a)3，即a3，因为3aa3.7若函数yax(a0且a1)在0,1上的最大值与最小值的和为3，则实数a_.答案2解析由于指数函数在R上单调，所以a0a13，解得a2.8已知函数yx在2，1上的最小值是m，最大值是n，则mn的值为_答案12解析yx在R上为单调减函数，m13，n29，故mn12.9设y140.9，y280.48，y31.5，则y1，y2，y3由小到大依次为_答案y2，y3，y1解析40.921.8,80.4821.44，1.521.5，根据y2x在R上是单调增函数，得21.821.521.44，即y1y3y2.10设函数f(x)若f(x0)1，则x0的取值范围是_答案
13、(，1)(1，)解析当x00时，1，x01；当x00时，11，2，x00，a1)的图象上求：(1)a，b的值；(2)函数f(x)的值域解(1)由题意，得解得或(舍去)所以(2)由(1)得，f(x)2x1，因为2x0，所以f(x)的值域为(1，)12已知函数f(x)(k3)ax3b(a0，且a1)是指数函数(1)求k，b的值；(2)解不等式f(2x7)f(4x3)解(1)f(x)(k3)ax3b(a0，且a1)是指数函数，k31,3b0，k2，b3.(2)由(1)得f(x)ax(a0，且a1)，则由f(2x7)f(4x3)，得a2x7a4x3.当a1时，f(x)ax在R上是单调增函数，则由a2x7a4x3，可得2x74x3，解得x2；当0aa4x3，可得2x72.综上，当a1时，原不等式的解集为(，2)；当0a0，且a1)在1,2上的最大值比最小值大，求a的值解分情况讨论：当0a0，且a1)在1,2上的最大值f(x)maxf(1)a1a，最小值f(x)minf(2)a2，aa2，解得a或a0(舍去)；当a1时，函数f(x)ax(a0，且a1)在1,2上的最大值f(x)maxf(2)a2，最小值f(x)minf(1)a1a，a2a，解得a或a0(舍去)综上所述，a或a.