1、章末复习考点一函数图象的画法及应用例1(2018盐城高一检测)已知奇函数f(x)(1)求实数m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间1，a2上是增函数，结合函数f(x)的图象，求实数a的取值范围；(3)结合图象，求函数f(x)在区间2,2上的最大值和最小值解(1)当x0，则f(x)(x)22(x)x22x.又函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)所以f(x)f(x)(x22x)x22x.又当x0时，f(x)x2mx，所以x22xx2mx，所以m2.函数f(x)的图象如图所示(2)由(1)知f(x)由图象可知，函数f(x)在区间1,1上是增函数要使
2、f(x)在1，a2上是增函数，需有解得10.(1)解函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)b0.(2)证明由(1)可得f(x)，下面证明函数f(x)在区间(1，)上是减函数设x2x11，则有f(x1)f(x2).再根据x2x11，可得1x0,1x0，x1x20,1x1x20，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(1，)上是减函数(3)解由(2)得f(x)在(1，)上是减函数，易知f(x)在区间1，)上也是减函数，f(x)是奇函数，f(1x2)f(x22x4)f(x22x4)，1x21，x22x4(x1)231，1x2x22x4，解得x，故不等式的解集为.反思感悟解决有关函数性质的综合
3、应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值跟踪训练2已知函数f(x)，且f(1)2.(1)判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性(2)证明函数f(x)在(1，)上是增函数(3)求函数f(x)在区间2,5上的最大值和最小值(1)解f(x)在其定义域上为奇函数，f(x)x，x0，f(1)1a2，a1，f(x)x，f(x)xf(x)，f(x)在定义域上为奇函数(2)证明任取x1，x2(1，)，且x10，x1x21，0.f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(1，)上为增函数(3)解f(x)在(1，)上单调递增，f(x)在2,5
4、上的最大值和最小值为f(x)minf(2)2，f(x)maxf(5)5.例3已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)2.(1)证明由f(x)f(y)f(xy)可得f(xy)f(x)f(y)在R上任取x1x2，令xyx1，xx2，则f(x1)f(x2)f(x1x2)x1x2，x1x20.又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)2即f(x)f(x)2f(x)f(3)f(3x)，由(1)知f(x)在R上为单调减函数，f(x)f(3x)x22f(x)2f(x)1.由(2)知f(3)fff2f2，f1.f(x)1f(x)f，f(x)在R上
5、为单调减函数，解集为.反思感悟研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用跟踪训练3函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x
6、)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x1考点三函数在实际生活中的应用例4某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人问这列火车每
7、天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数解(1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设ykxb(k0)，当x4时，y16，当x7时，y10，得到解得y2x24.依题意有解得定义域为xN*|0x12(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则Sxyx(2x24)2x224x2(x6)272，x(0,12)且xN*.所以当x6时，Smax72，此时y12，则每日最多运营人数为110727 920.故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.反思感悟建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束跟踪训练4如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径ABCM在正方形边上运动所经过的路程为x，APM的面积为y.(1)求yf(x)的解析式及定义域；(2)求APM面积的最大值及此时点P位置解(1)根据题意得f(x)f(x)的定义域为(0,1)1,2).(2)易知f(x)在(0,1)上为单调增函数，在上为单调减函数，所以当x1时，f(x)max.此时点P在点B的位置