1、3.4函数的应用3.4.1函数与方程学习目标1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的解的关系.2.会求函数的零点.3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数知识点一函数的零点概念(1)一般地，我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点(2)方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点提示函数的零点不是点，而是一个实数，当自变量取零点时，函数值为零知识点二零点存在性定理一般地，若函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上有零点提示定理要求具备两
2、条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且mnp)根的分布图象满足的条件x1x2m (两根都小于m)mx1x2 (两根都大于m)x1mx2 (一根大于m，一根小于m)f(m)0x1，x2(m，n) (两不等实根位于m，n之间)mx1nx2p (两根分别位于m与n，n与p之间)只有一根在(m，n)内，另一根不与m，n重合或f(m)f(n)0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax
3、(3x1)(a0)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函数g(x)的零点为0和.反思感悟函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点跟踪训练1函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_考点函数零点的概念题点求函数的零点答案x1或x10解析由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x1)0，lg x0或lg x1，x1或x10.题型二判断函数零点所在区间例2(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(3,4) B(2，e) C
4、(1,2) D(0,1)答案C解析因为f(1)ln 20，且函数f(x)的图象在(0，)上连续，所以函数的零点所在区间为(1,2)故选C.(2)根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间是()x10123ex0.3712.727.3920.08x323456A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3)答案C解析构造函数f(x)exx3，由上表可得f(1)0.3721.630，f(0)1320，f(1)2.7241.280，f(3)20.08614.080，f(1)f(2)0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)故选C.反思感悟判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：
5、将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点跟踪训练2若函数f(x)x(aR)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A2 B0 C1 D3答案A解析f(x)x(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f(1)1210，故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.题型三函数零点个数问题例3求函数f(x)2xlg(x1)2零点的个数解方法一f(0)10210，又f(x)2xlg(x1)2在(1，
6、)上为单调增函数，f(x)在(0,1)上必定存在零点故函数f(x)有且只有一个零点方法二在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点反思感悟判断函数零点个数的方法(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数跟踪训练3求函数f(x)ln x2x6零点的个数解方法一由于f(2)0，且f(x)在区间(2,3)内连续，又f(2)f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点又因为函数f
7、(x)在定义域(0，)内是单调增函数，所以它仅有一个零点方法二通过作出函数yln x，y2x6的图象，观察两图象的交点个数得出结论也就是将函数f(x)ln x2x6的零点个数转化为函数yln x与y2x6的图象交点的个数由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点例4已知函数f(x)x22ax4，在下列条件下，求实数a的取值范围(1)一个零点大于1，一个零点小于1；(2)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内解(1)函数f(x)x22ax4的一个零点大于1，一个零点小于1，设f(x)x22ax4，结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得f(1)52a.(2)函数f(x)x
8、22ax4的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内，结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得解得a.反思感悟讨论一元二次方程的根在区间的分布情况一般需从四个方面考虑：判别式；开口方向；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置跟踪训练4若函数f(x)x22mx2m1在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是_答案解析函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1,0)和(1,2)内，即函数f(x)x22mx2m1的图象与x轴的交点一个在(1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象列出不等式组解得m，实数m的取值范围是.1方程f(x)g(x)的根是函数f(
9、x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标2在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点3解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象4函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础1下列函数没有零点的是()Af(x)0 Bf(x)2Cf(x)x21 Df(x)x答案B解析对于选项B，f(x)2表示对任意实数x，函数值都等于2，不存在x使f(x)0，f(x)2无零点2方程x3x10的一个根存
10、在的区间可能是()A0,1 B1,2 C2,3 D3,4答案A解析原方程可化为x3x1，由yx3与yx1的图象(图略)知两函数图象的交点在(0,1)之间，故原方程的一个根在0,1之间3函数f(x)2x2ax3有一零点为，则f(1)_.答案0解析是f(x)的零点，22a30，a5，f(x)2x25x3，f(1)0.4若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_答案(1,0)解析f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，1b0，即m1.9已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)10设函数f(x)若f(4)0，f(2)
11、2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为_答案2解析根据f(4)0，f(2)2，易求得b5，c4，故f(x)所以当x0时，方程f(x)x即为x24x40，此方程有两个相等的实根，即x1x22，当x0时，x2是方程f(x)x的解，故方程f(x)x的解的个数为2.11已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案解析画出函数f(x)的图象，如图所示若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)，g(x)的图象有两个交点，由图可知k且k1.12已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_答案
12、1，)解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意；当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)三、解答题13判断函数f(x)ln xx23的零点的个数解方法一(图象法)函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两
13、函数的图象(如图)由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点，从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点方法二(判定定理法)由于f(1)ln 112320，f(1)f(2)0时，函数f(x)ax2x1为开口向上的抛物线，且f(0)10，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；(3)当a0时，x0，f(0)10，所以14a0，即a，此时f(x)x2x120，所以x2，符合题意综上所述a的取值范围是a0或a.15已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围解(1)当x(，0)时，x(0，)，yf(x)是奇函数，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x)(2)当x0，)时，f(x)x22x(x1)21，最小值为1；当x(，0)时，f(x)x22x1(x1)2，最大值为1.据此可作出函数yf(x)的图象，如图所示，根据图象得，若方程f(x)a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(1,1).