1、2019-2020学年北京六十六中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）抛物线y2（x+3）2+5的顶点坐标为（）A（3，5）B（3，5）C（3，5）D（3，5）2（3分）已知O的半径为5，OP7，则点P在（）AO内BO上CO外D不确定3（3分）如图，AB为O的直径，CD是弦，ABCD于E，若AB10，OE3，则弦CD的长为（）A4B8CD24（3分）若抛物线yax2+2x10的对称轴是直线x2，则a的值为（）A3B2C1D0.55（3分）在如图44的正方形网格中，MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A点AB点BC点C
2、D点D6（3分）如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD50，则BCD的度数为（）A40B50C35D557（3分）如图，ABC和ADE均为正三角形，则图中可看作是旋转关系的三角形是（）AABC和ADEBABC和ABDCABD和ACEDACE和ADE8（3分）在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（）A与x轴相切、与y轴相离B与x轴、y轴都相离C与x轴相离、与y轴相切D与x轴、y轴都相切9（3分）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x1，有下列结论abc0；ba+c；4a+2b+c0；a+bm（am+b），其中正确的结论有（）ABCD10（3分）如图，过
3、半径为6的圆O上一点A作圆O的切线l，P为圆O的一个动点，作PHl于点H，连接PA如果PAx，AHy，那么下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（）ABCD二、填空题（每小题2分，共12分）11（2分）半径为6cm的圆中，72的圆心角所对的弧长为 12（2分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的表达式是 13（2分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为200，且它的喷灌区域是一个扇形若它能喷灌的扇形草坪面积为5平方米，则这个扇形的半径是 米14（2分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边ABD，连接DC，以DC为边作等边DCEB、E在C、D的同侧，若AB，则B
4、E 15（2分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为yx22x3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 16（2分）如图，O的半径是5，点A在O上P是O所在平面内一点，且AP2，过点P作直线l，使lPA（1）点O到直线l距离的最大值为 ；（2）若M，N是直线l与O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 三、解答题（17-20题每题4分；21-24题每题5分，25题7分，26题7分，27题8分，共58分）17（4分）已知：二次函数yax2+bx+c（a0）中的x和y满足下表：x
5、012345y3010m8（1）m的值为 ；（2）抛物线yax2+bx+c的对称轴为 ；（3）这个二次函数的解析式为 ；（4）当0x3时，则y的取值范围为 18（4分）李雷为了修复一块圆形的镜子，需要找出镜子残片的圆心和半径（1）请利用尺规作图，找到圆形残片的圆心O（保留作图痕迹）；（2）写出你作图的依据： 19（4分）如图，抛物线经过点A、B、C（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求ODC的面积20（4分）如图，AB为O的直径，点D在O上，BAD36，点C为弧AD的中点，连接OC，AC（1）补全图形，并写出作图的方法或依据；（2）求ACO的度数21（5分）如图，A
6、B是O的弦，OAB45，C是优弧AB上一点，BDOA交CA延长线于点D，连接BC（1）求证：BD是O的切线；（2）若AC，CAB75，求O的半径22（5分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF（结果保留根号）23（5分）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，过点A作O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AFAE，连接AF并延长交O于点D（1）求证：BCAD；（2）若CE2，B30，求AD的长24（
7、5分） 如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（6，12），B（6，0），C（0，6），D（6，6）以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90（1）画出旋转后的小旗ACDB； （2）写出点A，C，D的坐标； （3）求出线段BA旋转到BA时所扫过的扇形的面积25（7分）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质：小宏根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究下面是小宏的探究过程，请补充完整：（1）函数y的自变量x的取值范围是 ；（2）下表是y与x的几组对应值x321123y0m0n求m，n的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值
8、为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）： 26（7分）已知二次函数yax2+bx+3（a0）图象的对称轴是直线x2，且经过点P（3，0）（1）求这个二次函数的解析式；（2）若y0，请直接写出x的取值范围；（3）若抛物线yax2+bx+3t（a0，t为实数）在0x3.5的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围27（8分）定义：对于抛物线yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0），若b2ac，则称该抛物线为黄金抛物线例如：y2x22x+2是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线yax2+bx+c（a、b、
9、c是常数，a0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y2x22x+2沿对称轴向下平移3个单位直接写出平移后的新抛物线的解析式；设中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）2019-2020学年北京六十六中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1【解答】解：抛物线解析
10、式为y2（x+3）2+5，二次函数图象的顶点坐标是（3，5）故选：B2【解答】解：r5，dOP7，dr，点P在O外，故选：C3【解答】解：连接OC，直径AB10，OC5，ABCD，E为CD的中点，即CEDECD，在RtOCE中，OC5，OE3，根据勾股定理得：CE4，则CD2CE8故选：B4【解答】解：抛物线yax22xa+1的对称轴是直线x，x2，a0.5故选：D5【解答】解：MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1，连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B故选：B
11、6【解答】解：如图，连接AC，AB为直径，ACB90，ABD50，ACDABD50，BCDACBACD905040，故选：A7【解答】解：根据旋转的性质可知，可看作是旋转关系的三角形是ABD和ACE，即为ABD绕点A逆时针旋转60度得到ACE故选C8【解答】解：点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定与x轴相切，与y轴相离，故选：A9【解答】解：根据图象可知：a0，c0，对称轴在y轴左侧，b0，abc0正确；根据图象可知：当x1时，y0，即ab+c0，即ba+c错误；观察图象可知：当x2时，y0，即4a+2b+c0错误选项A、B
12、、D都错误故选：C10【解答】解：如图，当PH与圆O相切时，四边形OAHP是正方形，AH6，PA6，当点P在圆O上运动时，y与x之间的关系既不是一次函数也不是二次函数，并且在x6时，函数取得最大值6，因为6612，故选：C二、填空题（每小题2分，共12分）11【解答】解：72的圆心角所对的弧长（cm）故答案为cm12【解答】解：抛物线的解析式为yx21故答案为：yx21（答案不唯一）13【解答】解：草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5平方米，圆心角为200，它能喷灌的草坪的面积为：5m2解得：R3故答案为：314【解答】解：等腰直角三角形ABC中，AB，ACAB1，等边ABD和等
13、边DCE，ADBD，CDED，ADBCDE，ADCBDE，在ADC和BDE中，ADCBDE（SAS），BEAC115【解答】解：连接AC，BC，抛物线的解析式为yx22x3，点D的坐标为（0，3），OD的长为3，设y0，则0x22x3，解得：x1或3，A（1，0），B（3，0）AO1，BO3，AB为半圆的直径，ACB90，COAB，CO2AOBO3，CO，CDCO+OD3+，故答案为：3+16【解答】解：（1）如图1，lPA，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，最大值为AO+AP5+27；（2）如图2，M，N是直线l与O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是O的直
14、径，lPA，APO90，AP2，OA5，OP，故答案为：7，三、解答题（17-20题每题4分；21-24题每题5分，25题7分，26题7分，27题8分，共58分）17【解答】解：（1）点（0，3）关于直线x2的对称点为（4，3），m3，故答案为3；（2）由表中x、y的对应值可知，当x1与x3时y的值相等，对称轴是直线x2，故答案为直线x2；（3）抛物线的顶点为（2，1），设解析式为ya（x2）21，代入点（0，3）得，34a1，解得a1，二次函数的解析式为yx24x+3，故答案为yx24x+3；（4）a1，顶点为（2，1），如图所示，由图象可知，当0x3时，则y的取值范围为1y3故答案为1y3
15、18【解答】解：（1）如图点O即为所求（2）作图依据：不在同一直线上的三个点确定一个圆，线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等故答案为不在同一直线上的三个点确定一个圆，线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等19【解答】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x1）24，把A（1，0）代入得a（11）240，解得a1，所以抛物线的解析式为y（x1）24；（2）因为抛物线的对称轴为直线x1，则点A（1，0）关于直线x1的对称点D的坐标为（3，0），所以ODC的面积34620【解答】解：（1）过点O作AD的垂线交O于C，根据垂径定理得到C点为的中点，连接OC、AC，如图，（2）OCAD，AOC90
16、BAD903654，OAOC，ACOCAO（18054）6321【解答】（1）证明：连接OB，如图OAOB，OAB45，1OAB45，AODB，2OAB45，1+290，BDOB于B，又点B在O上，BD是O的切线；（2）解：作OEAC于点EOEAC，AC4，AE2BAC75，OAB45，3BACOAB30在RtOAE中，OA422【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，由题意知，A（20，0），B（20，0），C（0，10）设过点A、B、C的抛物线方程为：ya（x+20）（x20）（a0）把点C（0，10）的坐标代入，得10a（0+20）（020），解得：
17、a，则该抛物线的解析式为：y（x+20）（x20）x2+10把y8代入，得x2+108，即x280，x14，x24所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF|x1x2|4（4）|8（m）23【解答】（1）证明：AE是O的切线，BAE90，AB为O的直径，ACB90，BAC+CAE90，BAC+B90，BCAE，AFAE，ACB90，CADCAEBCAD；（2）解：连接BDABCCADCAE30，DAE60，BAE90，BAD30，AB是直径，ADB90，cosBAD，ACE90，CAE30，CE2，AE2CE4，BAE90，ABC30，cotABC，即，AB4，AD624【解答】解：（1）小旗ACD
18、B如图所示；（2）点A（6，0），C（0，6），D（0，0）；（3）A（6，12），B（6，0），AB12，线段BA旋转到BA时所扫过的扇形的面积3625【解答】解：（1）数y的自变量x的取值范围x0，故答案为x0（2）当x时，m，当x3时，n（3）函数图象如图所示，（4）性质x0时，函数y随x的增大而增大x0时，函数y随x的增大而增大故答案为：x0时，函数y随x的增大而增大；为x0时，函数y随x的增大而增大26【解答】解：（1）对称轴为x2，点B（3，0），抛物线经过点（1，0）将（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+30且a+b+30解得a1，b2，抛物线解析式为yx24x+3；（2）
19、当1x3时，y0；（3）由（1）可知yax2+bx+3t的解析式为yx24x+3t，当（4）24（3t）0时，解得t1，抛物线与x轴的交点为（2，0）；当（4）24（3t）0时，解得t1，若x0，yx24x+3t0，抛物线yax2+bx+3t（a0，t为实数）在0x3.5的范围内与x轴有公共点，即k3，t的范围为1t327【解答】解：（1）答：如yx2，yx2x+1，yx2+2x+4等；（2）依题意得b2ac，b24acb24b23b2，当b0时，0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b0时，0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）抛物线y2x22x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y2x22x1，存在如图：若BQAO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，1），（1，1），此时，AOBBQP；若BQBO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x22x1，解得：x或x，P点的坐标为：（，），（，）此时，AOBPQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，1），（1，1），（，），（，）