1、第4课时等比数列前n项和的性质及应用一、选择题1等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于()A2 B. C4 D.答案C解析a33S22，a43S32，a4a33(S3S2)3a3，即a44a3，q4.2设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q等于()A1 B0 C1或0 D1答案A解析SnSn1an(n2且nN*)，又Sn是等差数列，an为定值，即数列an为常数列，q1(n2且nN*)3设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B C. D.答案A解析因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等
2、比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6，所以a7a8a9.4正项等比数列an的前n项和为Sn，S3013S10，S10S30140，则S20等于()A90 B70 C40 D30答案C解析由S3013S10，知q1，由得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20S10，S30S20成等比数列，则(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(130S20)，解得S2040或S2030(舍去)，故选C.5已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2 B2 C3 D3答案B解析设公比为q，若q1，则2，与题中条
3、件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.6已知等比数列an的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则Sa3a6a9a12的值为()A580 B585 C590 D595答案B解析设等比数列an的公比为q，则由题意有得Sa3a6a9a12a3(1q3q6q9)a1q2585.二、填空题7设Sn为等比数列an的前n项和，a28a50，则的值为_答案解析q3，q.11q4.8若等比数列an的前5项和S510，前10项和S1050，则它的前15项和S15_.答案210解析由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，故(S10S5)2S5
4、(S15S10)，即(5010)210(S1550)，解得S15210.9已知数列an的前n项和为Sn，且a11，若对任意nN*，有an1Sn，则Sn_.答案n1解析由an1Sn，得Sn1SnSn，即Sn1Sn，则数列Sn是以S11为首项，公比q的等比数列，所以SnS1qn1n1.10设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.答案解析由题意知q1，否则23.1q33，q32.11已知首项为1的等比数列an是摆动数列，Sn是an的前n项和，且5，则数列的前5项和为_答案解析1q25，q2.an是摆动数列，q2.的首项为1，公比为，前5项和为.三、解答题12已知等差数列an和等比数列bn满足a1
5、b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解(1)设等差数列an的公差为d，因为a2a42a310，所以a3512d，所以d2，所以an2n1(nN*)(2)设bn的公比为q，b2b4a5qq39，所以q23，所以b2n1是以b11为首项，qq23为公比的等比数列，所以b1b3b5b2n1.13已知数列an中，a11，anan1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.考点数列前n项和的求法题点分组求和法解(1)bn为等比数列.因为anan1n，所以an1an2
6、n1，所以，即an2an，因为bna2na2n1，所以，所以bn是公比为的等比数列因为a11，a1a2，所以a2，所以b1a1a2，所以bnn1.(2)由(1)可知an2an，所以a1，a3，a5，是以a11为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，为公比的等比数列，所以T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3.14等比数列an中，a1a33，前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，则Sn的最大值为_答案4解析设公比为q，由解得当n为奇数时，Sn4，当n为偶数时，Sn.综上，Sn的最大值为4.15已知Sn为数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)设数列Sn的前n项和为Tn，求Tn.(1)证明当n1时，S12S114，故S13，得S1124.n2时原式转化为Sn2(SnSn1)n4，即Sn2Sn1n4，所以Snn22Sn1(n1)2，所以Snn2是首项为4，公比为2的等比数列(2)解由(1)知，Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.