1、第2课时整数线性规划和非线性规划问题一、填空题1在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为_元考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题答案2 200解析设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z400x300y的最小值，可行域如图阴影部分(含边界)所示，解得当时，z有最小值，且zmin2 200(元)2已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x
2、，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_考点线性目标最优解题点求线性目标函数的最优解答案0,2解析作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，因为xy.所以设zxy，作l0：xy0，易知过点P(1,1)时，z有最小值，zmin110；过点Q(0,2)时，z有最大值，zmax022，所以的取值范围是0,23某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为_万元考点线性目标函数的最
3、值问题题点求线性目标函数的最值答案31.2解析设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润z万元，则z0.4x0.6y.可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图象知，目标函数z0.4x0.6y在A点取得最大值由得A(24,36)，zmax0.4240.63631.2(万元)4设x，y满足约束条件则的最大值是_考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值答案10解析画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，的几何意义是点M(1，1)与可行域内的点P(x，y)连线的斜率，当点P移动到点N(0,4)时，斜率最大，最大值为5，max2510.5设zxy，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z
4、的最小值为_考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案3解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，由zxy，得yxz，由图可知当直线yxz经过点A时，直线yxz在y轴上的截距最大，此时z最大为6，由得即点A(k，k)，zkk6，得k3.当直线yxz经过点B时，z取得最小值，由解得即点B(6,3)，此时z的最小值为633.6设实数x，y满足则z的取值范围是_考点非线性目标函数的最值问题题点求非线性目标函数最值问题综合答案解析令k，则ykx(因为x0，所以k存在)，直线ykx恒过原点，不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线ykx过点A(1,2)时，斜率有最大值2
5、；当直线ykx过点B(3,1)时，斜率有最小值，所以斜率k的取值范围为，又zk，当k时，zk为减函数；当k1,2时，zk为增函数，可得z的取值范围为.7某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z10x10y的最大值是_考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题答案90解析先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由解得但xN*，yN*，结合图知当x5，y4时，zmax90.8实数x，y满足不等式组则的取值范围是_考点非线性目标函数的最值问题题点求斜率型目标函数的最值答案解析如图，画出满足不等式组的解(x，y)构成的可行域ABO，求得B(2,2)，根据目标函
6、数的几何意义是可行域上一点(x，y)与点(1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值为1，最大值为.故的取值范围是.9已知则x2y2的最小值是_考点非线性目标函数的最值问题题点求距离型目标函数的最值答案5解析令zx2y2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d，即可行域中的点到原点的距离，由图得dmin，zmind25.10若满足条件的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a_.考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题答案1解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)当a1时，正好增加
7、(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)，5个整点11设非负实数x，y满足(2,1)是目标函数zax3y(a0)取最大值时的最优解，则a的取值范围是_考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案6，)解析作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，由zax3y(a0)，得yx，因为当直线zax3y(a0)过P(2,1)时，z取最大值，所以由图可知2，所以a6，所以a的取值范围是6，)二、解答题12某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：规格类型袋装大米类型AB甲21乙13已知库房中现有甲
8、、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域)考点线性规划中的整点问题题点线性规划中的整点问题解设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，所用的袋装大米的总袋数为z，则zxy(x，y为整数)，作出可行域D如图阴影部分(含边界)所示从图中可知，可行域D的所有整数点为(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8个点因为目标函数为zxy(x，y为整数)，所以在一组平行直线
9、xyt(t为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是xy12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3,9或4,8可使所用的袋装大米的袋数最少13已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范围考点非线性目标函数的最值问题题点求非线性目标函数最值问题综合解作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)(1)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，故MN.MN22，z的最小值为.(2)z2表示可行域内的点(x，y)与
10、定点Q连线斜率的2倍，kQA，kQB，z的取值范围是.三、探究与拓展14已知变量x，y满足约束条件若x2y5恒成立，则实数a的取值范围为_考点线性规划中的参数问题题点线性规划中的参数问题答案1,1解析由题意作出可行域，如图(阴影部分)所示，由图易知a1.x2y5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x2y5的右上方，即点A在直线x2y5上或其右上方易知A点坐标为(a，a1)，所以a2(a1)5，所以实数a的取值范围为1,115若实数x，y满足不等式组则z2|x|y的最大值为_考点非线性目标函数的最值问题题点求非线性目标函数最值问题综合答案11解析满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图(阴影部分)所示的ABC及其内部，其中A(6，1)，B(0,1)，C(2，1)，z2|x|y可转化为或当z2xy(x0)且目标函数的图象经过点A(6，1)时，z取得最大值，zmax11；当z2xy(x0)且目标函数的图象经过点C(2，1)时，z取得最大值，zmax3.综上可知，z2|x|y的最大值为11.