1、模块检测(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中的横线上)1.不等式x2x60的解集为_.解析由x2x60，得(x3)(x2)0，x3.答案x|x2，或x32.已知数列an是等差数列，a310，a622，则数列an的通项公式为_.解析由已知解得a12，d4.an2(n1)44n2(nN*).答案an4n2(nN*)3.等比数列an中，a12，a416，则数列an的通项公式为_.解析设an的公比为q，由已知得162q3，解得q2.又a12，所以ana1qn122n12n(nN*).答案an2n(nN*)4.已知实数x，y满足约束条件则z
2、2xy的最小值为_.解析不等式组所表示的平面区域为下图中阴影部分的三角形，且A(1，1)，B(2，1)，C，显然z2xy过点A时，取得最小值3.答案35.已知等比数列an满足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中项，则数列an的通项公式为_.解析设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意，有即由得q23q20，解得q1或q2.当q1时，不合题意舍；当q2时，代入得a12，所以，an22n12n(nN*.)答案an2n(nN*)6.在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a2bsin A0，则角B的大小为_.解析因为a2bsin A0，所以sin A2sin Bs
3、in A0，因为sin A0，所以sin B.又B为锐角，则B.答案7.设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an1(nN*)，则数列an的通项公式为_.解析因为Sn2an1，所以Sn12an11(n2).所以anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1.因为a12a11，即a11，所以an0(nN*)，所以2(n2)，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，故an2n1(nN*).答案an2n1(nN*)8.等比数列an中，若a1a2a3a4，a2a3，则等于_.解析.答案9.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Bcos B1，b1，A，则边长c为_.
4、解析由已知sin Bcos B1，整理得sin(B).因为0B，所以B0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_.解析因为yax24(a0，a1)恒过定点A，所以A点坐标为(2，3).又A点在直线mxny10上，所以2m3n1.所以(2m3n)()1221224，即的最小值为24.答案2411.“已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2bxa0.”给出如下的一种解法：由ax2bxc0的解集为(1，2)，得abc0的解集为，即关于x的不等式cx2bxa0的解集为.参考上述解法：若关于x的不等式0的解集为_.解析由0的解集为
5、得0的解集为.答案12.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B，b，则ABC面积的最大值为_.解析由已知得cos B，又因为b，所以a2c23ac.又因为a2c2ac32ac，所以0ac6，当且仅当ac时，ac取得最大值.此时SABCacsin B6.所以ABC的面积的最大值为.答案13.已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围是_.解析设三边为a，aq，aq2，则即得即q0即x(0，1时，f(x)axx210可化为ax，因为g(x)x在x(0，1上为增函数，故g(x)x的最大值为g(1)0，所以a0；当x0即x1，0)时，f(x)axx210可化为a
6、x，因为g(x)x在x1，0)上为增函数，故g(x)x的最小值为g(1)0，所以a0.综上得a0.答案0二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知函数f(x)ax2(2a1)xa1.(1)若a2，解关于x的不等式f(x)0；(2)若对于a2，2，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围.解(1)由已知得2x25x30，即(2x3)(x1)0，解得x，或x1.所以不等式的解集为；(2)ax2(2a1)xa1a(x1)2(x1)，令g(a)a(x1)2(x1)，则g(a)是关于a的一次函数，且一次项的系数为(x1)2.(x1)20
7、，当x10时，f(x)0，不合题意；当x1时，g(a)为2，2上的增函数.f(x)0恒成立，只要使g(a)的最大值g(2)0即可.即g(2)2(x1)2(x1)0，解得1x.综上可知，x的取值范围是.16.(本小题满分14分)设等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，bn，且a3b3，S5S321，(1)求数列bn的通项公式；(2)求证：b1b2bn2.(1)解设等差数列an的公差为d，则由已知a3b3，S5S321得方程组由得a1d，由得8a113d21，a1d1，Sn，bn(nN*).(2)证明：由bn2得：b1b2bn222).(2)AOB的面积Sxysin 75xy84(1).当且仅当
8、x4时取等号，此时y4.故OA4 km，OB4 km时，OAB面积的最小值为4(1)km2.18.(本小题满分16分)在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且C，abc(其中1).(1)若时，求证：ABC为直角三角形；(2)若2，且c3，求的值.(1)证明因为，所以abc，由正弦定理得sin Asin B sin C，因为C，所以sin Bsin，sin Bcos Bsin B， 所以 sin B cos B，所以sin，所以B或B，解得B或B.若B，则A，ABC为直角三角形；若B，ABC也为直角三角形.所以当时，ABC为直角三角形.(2)解若2，则ab2，所以ab2.又ab
9、3，由余弦定理a2b2c22abcos C，知a2b2abc29，即(ab)23ab9，故9229，得24，因为1，所以2.19.(本小题满分16分)已知等比数列an的公比q1，a11，且2a2，a4，3a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由2a2，a4，3a3成等差数列可得2a42a23a3，即2a1q32a1q3a1q2，又q1，a11，故2q223q，即2q23q20，得q2，因此数列an的通项公式为an2n1(nN*).(2)bn2n2n1n2n，Tn12222323n2n，2Tn122223324n2n1.得Tn2222
10、32nn2n1，Tnn2n1，Tn(n1)2n12(nN*).20.(本小题满分16分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a5a313，S416.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tn(1)iai，若对一切正整数n，不等式Tnm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，请说明理由.(1)解设数列an的公差为d.因为2a5a313，S416.所以解得a11，d2，所以an2n1，Snn2(nN*).(2)证明当n为偶数时，设n2k，kN*，则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k，代入不等式Tn an1(1)n1an2n1得，2k4
11、k，从而0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min2，所以2.当n为奇数时，设n2k1，kN*，则T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k，代入不等式Tnan1(1)n1an2n1，得(12k)4k.因为kN*，所以4k的最大值为4，所以4.综上所述，的取值范围为(4，2).(3)解假设存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列，则(SmS2)2S2(SnSm)，即(m24)24(n2m2)，所以4n2(m22)212，即4n2(m22)212，即(2nm22)(2nm22)12.因为nm2，所以n4，m3，所以2nm2215.因为2nm22是整数，所以等式(2nm22)(2nm22)12不成立，故不存在正整数m，n(nm2)，使得S2，SmS2，SnSm成等比数列.