1、第2课时正弦定理的应用学习目标1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解斜三角形.3.能用正弦定理解决简单的实际问题知识点一正弦定理的变形公式若ABC的外接圆的半径为R，有2R.(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)，；(3)；(4)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.知识点二边角互化1正弦定理的本质是三角形的边与对角的正弦之间的联系2正弦定理的主要功能是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化3使用正弦定理进行边角互化的前提是：已知外接圆半径R或能消掉R.知识点三三角形面积公式在ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，则ABC的面
2、积SABCabsin Cbcsin Acasin B.思考在SABCabsin C中，bsin C的几何意义是什么？答案BC边上的高知识点四仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示1仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角()2在ABC中，若b22acos B，则sin2B2sin Acos B()3平行四边形ABCD的面积等于ABADsin A()4SABC(R为ABC外接圆半径)()题型一边角互化例1在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状解方
3、法一由正弦定理，得2R(R为ABC外接圆半径)，sin A，sin B，sin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形方法二由正弦定理，得2R(R为ABC外接圆半径)，sin A，sin B，sin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BC90，BC，AB
4、C是等腰直角三角形反思感悟(1)化边为角：转化公式为a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径)(2)化角为边：转化公式为sin A，sin B，sin C(R为ABC外接圆半径)(3)当等号两端为边的齐次式或角的正弦齐次式时，2R可以消掉跟踪训练1若将题设中的“sin A2sin Bcos C”改为“bsin Bcsin C”，其余不变，试解答本题解由正弦定理，设2R(R为ABC外接圆半径)，从而得sin A，sin B，sin C.bsin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C，bc，222，b2c2，a2b2c2，bc，A90.ABC为等腰直角三
5、角形题型二三角形面积公式及其应用命题角度1已知边角求面积例2在ABC中，已知B30，AB2，AC2.求ABC的面积解由正弦定理，得sin C，又ABsin BACAB，故该三角形有两解，所以C60或120，当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30，SABCABACsin A.所以ABC的面积为2或.反思感悟对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，总的概括为两边与夹角正弦乘积的一半一般是已知角A就选Sbcsin A，但也要结合具体条件，如已知a，c，就以选Sacsin B为宜跟踪训练2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A3，cos C
6、，(1)求角B的大小；(2)若c4，求ABC的面积解(1)cos C，C，sin C，tan C2.又tan Btan(AC)1，且0B，B.(2)由正弦定理，得b，由sin Asin(BC)sin，得sin A，ABC的面积SABCbcsin A6.命题角度2已知面积求边角例3在ABC中，角A60，b1，SABC，则sin Bsin C_.答案14解析因为SABCbcsin A，所以c4，由正弦定理，得sin Bsin Cbc14.反思感悟条件中涉及面积，要根据解题目标和其他条件选取对解题有利的面积公式跟踪训练3在ABC中，B60，a1，b，SABC，则C_.答案90解析SABCacsin
7、B1c，c2，B60，b，2.sin C1，C90.题型三用正弦定理解决简单实际问题例4如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB为_ m. 答案5(1)解析方法一设ABx m，则BCx m.BD(10x) mtanADB.解得x5(1)(m)A点离地面的高AB等于5(1) m.方法二ACB45，ACD135，CAD1801353015.由正弦定理，得ACsin ADCsin 30 .ABACsin 455(1) m.反思感悟在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这
8、些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解跟踪训练4如图，某河段的两岸可视为平行的，为了测量该河段的宽度，在河岸的一边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且AB100 m求该河段的宽度解CAB75，CBA45，ACB180CABCBA60.由正弦定理得，BC.如图，过点B作BD垂直于河岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度在RtBDC中，BCDCBA45，sinBCD.BDBCsin 45sin 45(m)，即该河段的宽度为 m.学会有逻辑地思考问题典例在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan2.若B，a3，求ABC的面积
9、解由tan2，得tan A，又因为A(0，)，所以sin A，cos A.又由a3，B及正弦定理，得b3.由sin Csin(AB)sin得sin C，设ABC的面积为S，则Sabsin C9.素养评析逻辑推理核心素养要求“学会有逻辑地思考问题”本例的思考逻辑是：已知a，A，B易求b；在已知a，b的情况下，要求SABC，可选公式SABCabsin C，为此需求出sin C而sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，故需求sin A，cos A有逻辑地思考可以少做无用功，提高思维效率1在ABC中，若0，则ABC的形状一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D无法
10、判断答案B解析由正弦定理，得0，a2b2，ab，ABC为等腰三角形2已知三角形的面积为，其外接圆的面积为，则这个三角形的三边之积为()A1 B2 C. D4答案A解析设三角形外接圆的半径为R，则由R2，得R1，Sabsin C，abc1.3在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A等于()A. B. C. D.考点用正弦定理解三角形题点正弦定理解三角形综合答案D解析如图，设BC边上的高为AD，不妨令AD1. 由B，知BD1.又ADBCBD，DC2，AC.由正弦定理知，sin BAC3.4在ABC中，若C3B，则的取值范围为_答案(1,3)解析由正弦定理，得cos 2B2cos2B4cos2 B1，又ABC180，C3B，0B45，cos B1，14cos2B13，即的取值范围为(1,3)5在ABC中，已知BC6，A30，B120，则ABC的面积为_答案9解析由正弦定理得，AC6.又C1801203030，SABCACBCsin C669.1用正弦定理解决实际问题时，首先根据条件画出示意图，并特别注意诸如“仰角”、“俯角”之类术语的准确理解然后分析解三角形已有哪些条件，要求什么，还缺什么，如何利用正弦定理及三角知识达到目标2当条件等式中边的次数、角的正弦次数相同时，或已知三角形外接圆半径时，可以用正弦定理进行边角互化3三角形面积公式要根据条件灵活选择