1、1.1正弦定理第1课时正弦定理的推导和简单应用学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题知识点一正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等即：2R.(R为ABC外接圆的半径)知识点二解斜三角形解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程1正弦定理对任意的三角形都成立()2在ABC中，等式bsin Ccsin B总能成立()3在ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.()4任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素()题型一正弦定理的证明例1ABC的外接圆O的半径为R
2、，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：2R.证明在锐角ABC中，如图1，连结BO并延长，交外接圆于点A，连结AC，则圆周角AA.AB为直径，长度为2R，ACB，sin A，sin A，a2Rsin A.若A为直角(如图2所示)，在RtBAC中，可直接得a2Rsin A.若A为钝角(如图3所示)，作直径BA，连结AC，则AA，在RtBCA中，BCABsin A2Rsin(A)2Rsin A，即a2Rsin A.由得a2Rsin A，即2R，同理可证，2R，2R.所以2R.反思感悟引入三角形的外接圆半径，可以加深理解正弦定理的几何意义，更加方便实现三角形中的边角互化题型二已知两角及一边解三
3、角形例2在ABC中，已知A30，B60，a10，解三角形解根据正弦定理，得b10.又C180(3060)90.c20.反思感悟(1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个(2)因为三角形的内角和为180，所以已知两角可以求出第三个角跟踪训练1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B45，C60，c1，则ABC最短边的边长等于()A. B. C. D.答案A解析由三角形内角和定理，得A180(BC)75，所以B是最小角，b为最短边由正弦定理，得，即，则b，故选A.题型三已知两边及其中一边的对角解三角形例3在ABC中，已知c，A45
4、，a2，解三角形解，sin C，c2a，CA，C(0，180)，C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.引申探究若把本例中的条件“A45”改为“C45”，则角A有几个值？解，sin A.c2a，CA.A为小于45的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个反思感悟这一类型题目的解题步骤为(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值(2)用三角形内角和定理求出第三个角(3)根据正弦定理求出第三条边其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值跟踪训练2在ABC中，若a，b2，A30，则C_.答案105或15解析由正弦定理，得si
5、n B.B(0，180)，ba，B45或135，C1804530105或C1801353015.数形结合判断三角形解的个数典例在ABC中，已知A45，a2，b(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的ABC有多少个？解如图，A45，ACb.过点C作CDAB，垂足为D.则CDACsin A1.以C为圆心，a2为半径画圆由于a2CD，故圆C与射线AB必有交点又a2CA，故圆C与射线AB只有一个交点B.即符合条件的ABC有且只有一个素养评析直观想象指借助几何直观和空间想象感知事物的形态变化，利用图形理解和解决数学问题，在本例中，我们先在图中固定了A，射线AB，线段AC，然后把a
6、2想象成以C为圆心，半径为2的圆从而把问题理解成“射线AB与圆C有几个交点”最后借助数量关系a2CD，且ab确定解的个数体现了数形结合的威力.1. 在ABC中，一定成立的等式是()Aasin Absin B Bacos Abcos BCasin Bbsin A Dacos Bbcos A答案C解析由正弦定理，得asin Bbsin A，故选C.2在ABC中，若sin Asin C，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案B解析由sin Asin C及正弦定理，知ac，ABC为等腰三角形3在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D4答案C
7、解析易知A45，由，得b4.4在ABC中，若a，b，B，则A_.答案或解析由正弦定理，得sin A，又A(0，)，ab，AB，A或.5在ABC中，已知a，sin C2sin A，则c_.答案2解析由正弦定理，得c2a2.1. 正弦定理的表示形式：2R，或a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(其中R为ABC外接圆的半径)2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和另一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论