1、第2课时余弦定理的应用学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.3.能利用余弦定理解决简单的实际应用问题知识点一余弦定理及常见变形1a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C.2cos A，cos B，cos C.3在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c20时，ABC为锐角三角形()3ABC中，若c2a2b20，则角C为钝角()4在ABC中，恒有a2(bc)22bc(1cos A)()题型一余弦定理的变形及应用例1在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A_
2、.答案120解析a2c2b2bc，b2c2a2bc，cos A，又A(0，180)，故A120.反思感悟只有熟悉余弦定理及其变形，才能敏锐地抓住条件中与余弦定理及变形相似的地方，从而对条件进行有目的地变形跟踪训练1已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b22a2ac2c2，则sin B等于()A. B. C. D.答案A解析由2b22a2ac2c2，得2(a2c2b2)ac0.由余弦定理，得a2c2b22accos B，4accos Bac0.ac0，4cos B10，cos B，又B(0，)，sin B.题型二判断三角形形状例2在ABC中，若(abc)(abc)3ac，且
3、2acos Cb，则ABC是_三角形答案等边解析由(abc)(abc)3ac，得a2c2b2ac，于是cos B，故B60，由2acos Cb，得2ab，所以ac，故ABC是等边三角形反思感悟(1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理(2)变形要注意等价性，如sin 2Asin 2B 2A2B.c2(a2b2)(a2b2)(a2b2) c2a2b2.跟踪训练2在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定答案D解析由正弦定理知，sin A，sin B，sin C.sin2Asin2Bsin2C可化为a2b2c2
4、，a2b2c20.cos C0.角C为锐角，ABC的形状不能确定题型三余弦定理在实际问题中的应用例3如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，求起吊的货物与岸的距离AD. 解在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB，sinACB.又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtACD中，ADACsinACD15(m)反思感悟解决实际问题其实只比解三角形多一步：把实际问题中涉及的量纳入到图形中这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语跟踪训练3某观测站C与两灯塔A，B的距离分别为3 km和5 km，测得灯塔A在观测站C
5、北偏西50，灯塔B在观测站C北偏东70，求两灯塔A，B之间的距离解依题意知ABC中，AC3，BC5，ACB120.由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcosACB3252235cos 12049.AB7.即灯塔A，B间的距离为7 km.合理选择运算方法典例在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B.或 C. D.或答案B解析cos B，a2c2b22accos B，代入已知等式得2accos Btan Bac，即sin B，则B或.素养评析选择运算方法是数学运算素养的内涵之一运算从一点出发可以有无限个方向一个式子也可以有无限
6、个变形，逐个试探肯定不现实那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：公式要熟，如本例至少应知道cos B，tan B.观察联想，如看到a2c2b2应联想到a2c2b22accos B.权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a2c2b2化为2accos B简单.1在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于()A60 B45或135C120 D30答案C解析b2a2c22accos Ba2c2ac，ac2accos B，cos B，又0B180，B120.2在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin Absin Bcsin C，则
7、ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案C解析根据已知条件及正弦定理可得a2b2c2，由余弦定理得cos C0，故C是钝角，即ABC是钝角三角形3.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离ACBC1 km，且C120，则A，B两点间的距离为_ km. 答案解析在ABC中，ba1，C120.由余弦定理，得AB2a2b22abcos C1212211cos 1203.AB.4ABC中，ab2，c3，C，则ab_.答案3解析由余弦定理，得c2a2b22abcos C(ab)22ab2abcos C，即32(2)22ab，解得ab3.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos Aacos C2c，若ab，则cos B_.答案解析ccos Aacos C2c，由正弦定理可得sin Ccos Asin Acos C2sin C，sin(AC)2sin C，sin B2sin C，b2c，又ab，a2c.cos B，1熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量2对所给条件进行变形，主要有两种方向(1)化边为角(2)化角为边3解决实际问题需要先把实际问题抽象为解三角形