1、第2课时等差数列的性质学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算知识点一等差数列通项公式的变形及推广andn(a1d)(nN*)，anam(nm)d(m，nN*)，d(m，nN*，且mn)其中的几何意义是点(n，an)均在直线ydx(a1d)上可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.即斜率公式k，可用来由等差数列任两项求公差知识点二等差数列的性质在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则aman2ap.知识点三由等差数列衍生的新数列若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结
2、论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)1若数列an的通项公式anknb，则an是公差为k的等差数列()2等差数列an中，必有a10a1a9.()3若数列a1，a2，a3，a4，是等差数列，则数列a1，a3，a5，也是等差数列()4若数列a1，a3，a5，和a2，a4，a6都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3是等差数列()5在等差数列an中，若l，m，n，p，q，rN*，且lmnpqr，则alamanapaqar.()题型一anam(nm)d的
3、应用例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式解因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1，nN*.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算令m1，anam(nm)d即变为ana1(n1)d，可以减少记忆负担跟踪训练1已知bn为等差数列，若b32，b1012，则b8_.答案8解析方法一bn为等差数列，可设其公差为d，则d2，bnb3(n3)d2n8.b82888.方法二由d，得b85b325(2)8.题型二等差数列性质的应用例2已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式解方法
4、一因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，所以(a42d)(a42d)9，即(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3，nN*；若d2，ana4(n4)d132n，nN*.方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5.由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(52d)5(52d)45，即(52d)(52d)9，联立解得a11，d2或a111，d2，即an12(n1)2n3，nN*；或an112(n1)2n13，nN*.引申探究1在例2
5、中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN*，是否有amanapaqaras?解设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.2在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.答案20解析a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.反思感悟解决等差数列运算问题的一
6、般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之这些方法都运用了整体代换与方程的思想跟踪训练2在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值解方法一(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33.a14d11，联立解得a
7、3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.题型三等差数列的设法与求解例3已知三个数成单调递增的等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数解设这三个数分别为ad，a，ad，且d0.由题意可得解得或d0，a6，d2.这三个数是4,6,8.反思感悟设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：，xd，x，xd，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：，a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为anpnq.跟踪训练3三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为24，求这三个数解设这
8、三个数分别为ad，a，ad.由题意可得解得或所求三个数为2,2,6或6,2，2.数列问题如何选择运算方法典例等差数列an中，a3a72a1540，求a10.解方法一设an的公差为d.则a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.素养评析等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特
9、点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.1在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于()A3 B6 C4 D3答案B解析由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，所以d6.2在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于()A32 B32 C35 D35答案C解析由a8a4(84)d4d14212，得d3，所以a15a8(158)d147335.3等差数列an中，a4a515，a712，则a2_.答案3解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.4在等差数列an中，已知amn，anm，m，nN*，则amn的值为_答案0解析设等差数列的公差为d，则d1，从而amnam(mnm)dnn(1)0.5设公差为2的等差数列an，如果a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99_.答案82解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.1由等差数列可以衍生出很多新的等差数列学生要了解常见的衍生方法，并知道所得新的等差数列的基本量(首项、公差)可能有变2在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量