1、2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义，会用定义判断和证明一个数列是否为等差数列.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零知识点二等差中项的概念如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A.知识点三等差数列的通项公式若一个等差数列an，首项是a1，公差为d，则ana1(n1)d.此公式可用累
2、加法证明1数列4,4,4，是等差数列()2数列3,2,1是等差数列()3数列1,3,4,5,6，是等差数列()4等差数列an中，a1，n，d，an任给三个，可求其余()题型一等差数列的判定例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，2n11，；(2)1,11,23,35，12n13，；(3)1,2,1,2，；(4)1,2,4,6,8,10，；(5)a，a，a，a，a，.解(1)通项公式an2n11，an1an2(n1)11(2n11)2.该数列是公差为2的等差数列(2)通项公式an12n13.an1an12(n1)13(12n13)12.该数列是公差为12的等差数列(3)2112.该
3、数列不是等差数列(4)2142.该数列不是等差数列(5)通项公式ana，an1anaa0.该数列是公差为0的等差数列反思感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an1an(n1，nN*)是不是一个与n无关的常数跟踪训练1判断下列数列是否为等差数列(1)0,0,0,0.(2)1，1,1，1.(3)1,3,5,7,9.(4)30,20,10,5.(5)an的通项公式an2n5.解前4题均为有穷数列，可依定义逐项检验，(1)，(3)是等差数列，(2)，(4)不是(5)an1an2
4、(n1)5(2n5)2，nN*.an是公差为2的等差数列题型二等差中项例2在1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列解1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1,3,5,7.反思感悟在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN*)，即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项解由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2
5、mn10.两式相加，得3m3n18，即mn6.所以m和n的等差中项为3.题型三等差数列通项公式的求法及应用例3在等差数列an中，已知a612，a1836，求通项公式an.解由题意可得解得d2，a12.an2(n1)22n(nN*)反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想等差数列an中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量跟踪训练3在等差数列an中，(1)若a515，a1739，试判断91是否为此数列中的项(2)若a211，a85，求a10.解(1)因为解得所以an72(n1)2n5.令2n591，得n43.因为43
6、为正整数，所以91是此数列中的项(2)设an的公差为d，则解得an12(n1)(1)13n，所以a1013103.等差数列的判定与证明典例1已知数列an满足an13an3n，且a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由an13an3n，两边同时除以3n1，得，即.由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)，故ann3n1，nN*.典例2已知数列an：a1a21，anan12(n3)(1)判断数列an是否为等差数列？说明理由；(2)求an的通项公式解(1)当n3时，anan12，即anan12，而a2a10不满足上式，an不是等
7、差数列(2)当n2时，an是等差数列，公差为2.当n2时，an12(n2)2n3，又a11不适合上式，an的通项公式为an素养评析(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明anan1d(n2，d为常数)或an1and(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1下列数列不是等差数列的是()A1,1,1,1,1 B4,7,10,13,16C.，1， D3，2，1,1,2.答案D2已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为()
8、A2 B3 C2 D3答案C解析由等差数列的定义，得da2a1112.3已知在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B_.答案60解析因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有AC2B，又因为ABC180，所以3B180，从而B60.4在等差数列40,37,34，中第一个负数项是第_项答案15解析因为等差数列中，首项是40，公差d37403，所以此数列的通项公式为an40(n1)(3)3n43，令an3n43，由于要求的是等差数列40,37,34，中第一个负数项，故应求n时的最小正整数，所以n取值为15.5已知等差数列1，1，3，5，89，则它的项数是_答案46解析d112，设89为第n项，则891(n1)d1(n1)(2)，n46.1判断一个数列是否为等差数列的常用方法：(1)an1and(d为常数，nN*)an是等差数列(2)2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量