1、第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2n(nN*)，则S2nn(anan1)，S偶S奇nd，(S奇0)；性质2若等差数列的项数为2n1(nN*)，则S2n1(2n1)an(an是数列的中间项)，S奇S偶an，(S奇0)知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，(1)等差数列前n项和Sn不
2、一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为(n，Sn)(nN*)因此，由二次函数的性质可以得出结论：当d0时，Sn有最小值；当d0，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利
3、用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n(nN*)(2)方法一由(1)知，a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值方法二由(1)知，a19，d20，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_答案解析方法一由当且仅当n8时Sn最大，知a8
4、0且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即80，d0或a10)中，andn(a1d)，其图象为ydx(a1d)上的一系列点，要求Sn的最大(小)值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为()A1 B2 C3 D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为()A2 B3 C4 D5答案D解析S55a325，a35
5、.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7_.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9_.答案18解析a3a6a9(a1a4a7)(a3a1)(a6a4)(a9a7)6d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn取最小值n_.答案5解析S100，可设Snn(n10)，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形(1)Sn；(2)Snn2n；(3)n.2求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观(2)通项法：当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值