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2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质 学案(含答案)

1、第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk,S2kSk,S3kS2k,组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2n(nN*),则S2nn(anan1),S偶S奇nd,(S奇0);性质2若等差数列的项数为2n1(nN*),则S2n1(2n1)an(an是数列的中间项),S奇S偶an,(S奇0)知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形,得Snn2n.若令A,a1B,则上式可以写成SnAn2Bn,(1)等差数列前n项和Sn不

2、一定是关于n的二次函数当公差d0时,Snna1,不是项数为n的二次函数当d0时,此公式可看成二次项系数为,一次项系数为,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线yx2x上的点集,坐标为(n,Sn)(nN*)因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d0时,Sn有最小值;当d0,由得又nN*,当n13时,Sn有最大值169.方法三同方法一,求出公差d2.S9S17,a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130,a140,d0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和若a10,则Sn存在最小值,即所有非正项之和(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利

3、用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中,a19,a4a70.(1)求数列an的通项公式;(2)当n为何值时,数列an的前n项和取得最大值?解(1)由a19,a4a70,得a13da16d0,解得d2,ana1(n1)d112n(nN*)(2)方法一由(1)知,a19,d2,Sn9n(2)n210n(n5)225,当n5时,Sn取得最大值方法二由(1)知,a19,d20,n6时,an0.当n5时,Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中,a17,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n8时Sn取得最大值,则d的取值范围为_答案解析方法一由当且仅当n8时Sn最大,知a8

4、0且a90,于是解得1d,故d的取值范围为.方法二Snn2n,由题意知d0,对称轴x,n8时,Sn取最大值7.58.5,即80,d0或a10)中,andn(a1d),其图象为ydx(a1d)上的一系列点,要求Sn的最大(小)值,只需找出距x轴最近的两个点;Snn2n,其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大(小)值,只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n,则an1an的值为()A1 B2 C3 D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列,公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25,则a3的值为()A2 B3 C4 D5答案D解析S55a325,a35

5、.3设Sn是等差数列an的前n项和,已知a23,a611,则S7_.答案49解析S77749.4等差数列an中,若公差为2,a1a4a76,则a3a6a9_.答案18解析a3a6a9(a1a4a7)(a3a1)(a6a4)(a9a7)6d12,a3a6a912618.5等差数列an中,公差d0,前n项和为Sn,S100,则Sn取最小值n_.答案5解析S100,可设Snn(n10),对称轴n5,且d0.n5时,Sn最小1等差数列an的前n项和Sn,有下面几种常见变形(1)Sn;(2)Snn2n;(3)n.2求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值,但要注意nN*,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观(2)通项法:当a10,d0,时,Sn取得最大值;当a10,时,Sn取得最小值